Let’s master math | గణితంపై పట్టు సాధిద్దామిలా..

మ్యాథ్స్.. ఏ రంగంలోనయినా దూసుకుపోగల సబ్జెక్ట్. ఇదివరకు టెట్, డీఎస్సీ, కానిస్టేబుల్, ఎస్సై, బ్యాంక్ పీఓ తదితర పోటీ పరీక్షల్లో అత్యంత కీలక పాత్ర మ్యాథమెటిక్స్‌ది. నాన్‌మ్యాథ్స్ అభ్యర్థులు గణితంపై పూర్తి అవగాహన సాధించాలంటే ప్రాథమిక పరిక్రియలైన సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం, భాగహారాలపై పట్టు ఉండాలి. 20 వరకు ఎక్కాలు, 1 నుంచి 30 వరకు అంకెల వర్గాలు, ఘణాలు, 100లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు, వ్యాపార గణితం, క్షేత్రగణితంలోని ముఖ్యమైన సూత్రాలపై మొదటగా పట్టు సాధించాలి.  అంశాలవారీగా వాటిని ఒకసారి పరిశీలిద్దాం.

1. అంకగణితం

-ఇందులో గుణిజాలు, కారణాంకాలు, ప్రధాన సంఖ్యలు, 2, 3, 4, 5, 9, 11 సంఖ్యలచే భాజనీయత సూత్రాలు సహజ సంఖ్యలు. అకరణీయ సంఖ్యలు, పూర్ణ సంఖ్యలు, వాస్తవ సంఖ్యలు, కూడికలు, తీసివేతలు, గుణకారాలు, భాగహారాలు, వర్గమూలం, దశాంశభిన్నం, కాలం-దూరం, కాలం-పని, శాతాలు, బారువడ్డీ, చక్రవడ్డీ, లాభనష్టాలు, నిష్పత్తి అనుపాతం, సంవర్గమానాలు అనే అంశాలను చేర్చారు.
-ఏ పోటీ పరీక్ష తీసుకున్నా 3వ తరగతి నుంచి 10వ తరగతి వరకు గల గణిత పుస్తకాలను ప్రామాణికంగా తీసుకుని ప్రశ్నలను అడుగుతారు. నాన్ మ్యాథ్స్ అభ్యర్థులు గణిత సబ్జెక్ట్‌ను కష్టమని పూర్తిగా వదిలేస్తుంటారు. ప్రశ్నపత్రంలోని సమస్యలన్నీ దాదాపు నిజజీవితంలో తారసపడేవే. కొద్దిపాటి మెళకువల సహాయంతో నాన్‌మ్యాథ్స్ అభ్యర్థులు కూడా 100శాతం మార్కులను సాధించవచ్చు.

-ఈ అధ్యాయంలో ప్రశ్నలన్నీ ప్రతి పోటీపరీక్షలో ఉండే అంశాలు ఉన్నాయి. ఈ అంశాలన్నీ సంఖ్యావాదంపై ఆధారపడినవి. కొద్దిపాటి ప్రిపరేషన్‌తో ఈ అధ్యాయం నుంచి వచ్చే సుమారు 20 ప్రశ్నలను తేలికగా గుర్తించవచ్చు. అందుకుగాను సంఖ్యావ్యవస్థ దాని ధర్మాలు, ప్రధాన సంఖ్యలు, సంయుక్త సంఖ్యలు, ప్రధానసంఖ్యలపై ఆధారపడిన కవల ప్రధాన సంఖ్యలు, షష్ఠ్యంతర ప్రధాన సంఖ్యలు, కచక లేక వికటకవి ప్రధాన సంఖ్యలపై పూర్తి అవగాహన కలిగి ఉండి 100లోపు ప్రధాన సంఖ్యలను గుర్తుపట్టగలగాలి. ఎక్కువగా మూడంకెల సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్య అవుతుందా కాదా? అనే అంశాన్ని చాలా పోటీపరీక్షల్లో అడిగారు. కావున దానిపైన పూర్తి పట్టు సాధించాలి. ఇక వ్యాపార గణిత విషయానికి వస్తే అవి నిత్య జీవితంలో తారసపడే ప్రశ్నలే. కొద్దిపాటి ప్రిపరేషన్‌తో వాటిపై పూర్తి అవగాహన సాధించవచ్చు.
-పై అంశాల నుంచి ప్రశ్నలను ఏ కోణంలో అడుగుతారో రెండు ఉదాహరణల ద్వారా పరిశీలిద్దాం.

1. A ఒక పనిని 40 రోజులలో, C అదే పనిని 60 రోజుల్లో, A, B, Cలు కలిసి 20 రోజుల్లో పూర్తిచేస్తారు. అయితే B ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తిచేస్తాడు?

ఎ. 100 బి. 120 సి. 110 డి. 130
సమాధానం: బి
వివరణ
A C A+B+C
40 60 20
3 2 6
-B ఆ పనిని పూర్తి చేసే రోజుల సంఖ్య = 120/1 = 120

2. కింది వాటిలో ఏది 571 + 572+573 చే విభాజితం?

ఎ. 150 బి. 160 సి. 155 డి. 30
సమాధానం: సి
వివరణ
571(1+5+52)
= 571(1+5+25) =571(31)
-31 అనేది 155ని భాగిస్తుంది. కావున దత్తసంఖ్య కూడా 155చే విభాజితం.

2. బీజగణితం

-బహుపద సిద్ధాంతాలు, క.సా.గు., గ.సా.భా., వర్గమూలం, గుణకాల మధ్య సంబంధం, సమకాలిక రేఖా సమీకరణాలు, వర్గ సమీకరణాలు మొదలైన అంశాలను ఇచ్చారు.
-ఇందులో విద్యార్థి ముందుగా బీజీయ సమాసం అంటే ఏమిటి? బీజీయ సమాసాల వర్గమూలాలను ఏ విధంగా కనుగొనాలి, వర్గమూలాలను కనుగొనడంలో శేష సిద్ధాంతం ఉపయోగం, వర్గసమీకరణం కారణాంకాలను కనుగొనడం, ఆ కారణాంకాల స్వభావంపై పూర్తి అవగాహన పెంపొందించుకోవాలి. నాన్ మ్యాథ్స్ అభ్యర్థులకు ఈ అధ్యాయం కష్టంగా అనిపించినప్పటికీ, కొద్దిపాటి ప్రిపరేషన్‌తో అన్ని ప్రశ్నలను సులువుగా సాధించవచ్చు.

1. 8×6-9×3+1 ను కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయండి?

a. (2x+1)(4×2+2x-1)(x-1)(x2+x-1)
b. (2x-1)(4×2+2x-1)(x-1)(x2+x+1)
c. (2x-1)(4×2+2x+1)(x-1)(x2+x+1)
d. (2x+1)(4×2+2x+1)(x-1)(x2+x+1)
సమాధానం: సి
వివరణ
-ఒక బహుపదిని కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయాలనుకున్నప్పుడు ఆ బహుపదిని f(x)తో సూచించి, అందులో ఏదైనా ఒక వాస్తవ సంఖ్యను ప్రతిక్షేపించి ఆ విలువలను కనుగొనాలి. అదే వాస్తవ సంఖ్యను ఇచ్చిన ప్రతి ఆప్షన్‌లో ప్రతిక్షేపించి ఏ ఆప్షన్ విలువ f(x)లో ప్రతిక్షేపించిన విలువకు సమానం అవుతుందో అదే సరైన సమాధానం.
-ఇక్కడ గుర్తుంచుకోవలసిన విషయం f(x)లో వాస్తవ సంఖ్యను ప్రతిక్షేపిస్తే వచ్చే విలువ ఇచ్చిన ఆప్షన్లలో రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ విలువలకు సమానమైతే మరో వాస్తవ సంఖ్యచే పరిశీలించాలి.

2. x2-5x+k = 0 ఒక మూలం 2 అయితే k =?

ఎ. 6 బి. -3 సి. -6 డి. 3
సమాధానం: ఎ
వివరణ
x=2 ఒక మూలం కావున దత్త సమీకరణాన్ని తృప్తిపరుస్తుంది.
అంటే f(2) = 0
f(x) = x2-5x+k = 0
f(2) = 4-5(2)+k = 0 = k = 6

3. త్రికోణమితి
-ఇందులో sinx, cosx, tanx త్రికోణమితి అనువర్తనాలు, ఎత్తులు-దూరాల కొలతలు.
-త్రికోణమితి త్రిభుజంలోని కొలతల గురించే చర్చించే శాస్త్రం. ఇది లంబకోణ త్రిభుజం ఆధారంగా నిర్మించారు. ముందుగా విద్యార్థి లంబకోణ త్రిభుజంపై సంపూర్ణ అవగాహన కలిగి ఉండటంతో పాటు sinx, cosx, tanxల నిర్వచనాలు ఊర్థ, నిమ్నకోణాలను గూర్చికూడా పట్టుసాధించాలి.
లంబకోణ త్రిభుజం
1. అతిపెద్ద భుజమే కర్ణం.
2. మిగిలిన భుజాలను ఎదుటి, ఆసన్న భుజాలుగా పరిగణిస్తారు.
3. ఈ మూడు భుజాలను ట్రయోడ్‌లు అంటారు.
4. ఒక కోణం 90 డిగ్రీలు.
5. మిగిలిన రెండు కోణాలు పూరకాలు, ఒక్కొక్క కోణం అల్పకోణం.
6. (కర్ణం)2 = (ఎదుటి భుజం)2 + (ఆసన్న భుజం)2
దీనిని పైథాగరస్ ట్రయోడ్ సిద్ధాంతం అంటారు.

1. (1-tanA)2+ (1+tanA)2=?

ఎ. 2sec2A బి.3sec2A
సి. 2sin2A డి. 4sec2A సమాధానం: ఎ
వివరణ
(1-tanA)2+ (1+tanA)2
= (1+tanA2-2tanA)+ (1+tanA2+2tanA)
= 2(1+tanA2) = 2sec2A

4. రేఖా గణితం
-సరళరేఖలు-కోణాలు, సమతలం అకృతులు, కింది వాటిపై వివిధ సిద్ధాంతాలు.
1. బిందు కోణాలు 2. సమాంతర రేఖలు 3. త్రిభుజాలు 4. సమాంతర చతర్భుజాలు, చతురస్రాలు, చతుర్భుజాలు 5. వృత్తాలు 6. బిందుపథం
రేఖాగణితంలో కోణం, కిరణం, సరళరేఖ, రేఖాఖండం, తిర్యక్‌రేఖ నిర్వచనాలపై పట్టుసాధించి, చతుర్భుజం ఎలా ఏర్పడుతుంది? చతుర్భుజంలోని రకాలు, వాటి ధర్మాలపై అవగాహన పెంచుకోవాలి.

1. త్రిభుజాలు ABC, DEF సర్వసమానాలు వీటి వైశాల్యాలు వరుసగా 64. చ.సెం.మీ, 121 చ.సెం.మీ అదేవిధంగా EF= 15.4 చ.సెం.మీ అయితే BC కొలత ఎంత?

ఎ. 11.2 చ.సెం.మీ బి. 12.4 చ.సెం.మీ
సి. 8.3 చ.సెం.మీ డి. 23.6 చ.సెం.మీ
సమాధానం: ఎ
వివరణ
(త్రిభుజం ABC వైశాల్యం)/త్రిభుజం DEF వైశాల్యం= (BC/EF)2
=64/121=(BC/15.4)2
=8/11=BC/15.4=(8×15.4)/11=11.2 చ.సెం.మీ

5. క్షేత్రగణితం
-త్రిభుజం, చతుర్భుజం, చతురస్రం, సమాంతర చతుర్భుజం, వృత్తాల వైశాల్యాలు, ధీర్ఘఘణ చతురస్ర ఉపరితల వైశాల్యం, ఘణపరిమాణం, శంఖువు ఉపరితల వైశాల్యం, ఘణపరిమాణం, గోళం ఉపరితల వైశాల్యం, ఘణపరిమాణం.
-జ్యామితీయ పటాల చుట్టుకొలతలు, వైశాల్యాలు, ఘణపరిమాణాల గురించి అధ్యయనం చేసే గణితశాస్త్ర విభాగాన్నే క్షేత్రగణితం అంటారు. వీటిలో ఎక్కువగా ప్రశ్నలు త్రిభుజం, చతుర్భుజ వైశాల్యాలపైన అడుగుతుంటారు.

1. ఒక క్రమ వృత్తాకార స్థూపం భూవ్యాసార్థం 14 సెం.మీ., ఎత్తు 21 సెం.మీ, వక్రతల వైశాల్యం కనుగొనుము? ?

ఎ. 1432 సెం.మీ బి. 1368 సెం.మీ
సి. 1684 సెం.మీ డి. 1848 సెం.మీ
సమాధానం: డి
వివరణ
వక్రతల వైశాల్యం=2
=2x(22/7)x14x21=1848 సెం.మీ

6. గణాంక శాస్త్రం
పాన చిత్రాలు, రేఖా చిత్రం, మధ్యమ విచలనం.మెళకువలు
1. అర్థం అయితే గణితం చాలా సులువు. తరగతులవారీగా సిలబస్‌ను చదవకుండా చాప్టర్స్‌వారీగా ప్రిపేర్ అయితే మంచిది. ఉదాహరణకు రేఖాగణితం అనే అధ్యాయనాన్ని 5వ తరగతి నుంచి 10వ తరగతి వరకు ఉన్న అన్ని అంశాలను ఒకేసారి ప్రిపేర్ కావడం.
2. అకడమిక్ పరీక్షలకు, పోటీ పరీక్షలకు చాలా తేడా ఉంది. అకడమిక్ పరీక్షలో పాస్ మార్క్‌లు సాధిస్తే సరిపోతుంది. కాని పోటీ పరీక్షలో 0.001 మార్కు తేడాతో కూడా ఉద్యోగ అవకాశం కోల్పోయే ప్రమాదం ఉంది. ప్రణాళికాబద్ధంగా రోజుకు కనీసం 5గంటలు ప్రాక్టీస్ చేయాలి.
3. ప్రతి పోటీ పరీక్షకు పోటీ తీవ్రంగా ఉండటం వల్ల ఎక్కువమంది అభ్యర్థులను ఫిల్టర్ చేయడానికి ప్రశ్నపత్రం రూపొందిచేవారు సులభమైన ప్రశ్నలను కూడా రకరకాల కోణాల్లోఅడిగే అవకాశం ఉంది.
4. అభ్యర్థులు ఏ పోటీ పరీక్షకు ప్రిపేర్ అవుతున్నారో ఆ పోటీ పరీక్షకు సంబంధించిన మోడల్ పేపర్లలోని గణిత ప్రశ్నలను ప్రాక్టీస్ చేయడం వలన నేర్చుకున్న విషయాలు బాగా గుర్తుండటంతో పాటు తప్పుగా గుర్తించిన సమాధానాలను వెంటనే నివృత్తి చేసుకునే అవకాశం ఉంటుంది. దీనివలన ఆత్మవిశ్వాసం పెరుగుతుంది. పరీక్ష రాసేవారు అకుంఠిత దీక్షతో ప్రిపరేషన్ కొనసాగించాలి.
5. సిలబస్‌లో పేర్కొన్న అన్ని అధ్యాయాలను అందులోని ప్రతీ భావనను బట్టీపట్టకుండా నేర్చుకోవాలి. ముఖ్యమైన సూత్రాలను ఒకచోట రాసుకోవాలి.
చివరగా అభ్యర్థులు ఒత్తిడికి లోను కాకుండా ప్రిపరేషన్ కొనసాగిస్తే ప్రతి పోటీపరీక్షలో ముందంజలో ఉండవచ్చు.