1520 కారణాంకాల్లో 1 తప్ప మిగిలిన కారణాంకాల మొత్తం ఎంత?

సంఖ్యావ్యవస్థ
గుణిజాలు, కారణాంకాలు (భాజకాలు)
పోటీపరీక్షలకు సిద్ధమయ్యే అభ్యర్థులు సిలబస్‌లో ఉన్న అంశాలను మూస పద్ధతిలో చదవకుండా ఆ సిలబస్‌లోని టాపిక్స్‌ను అప్‌డేట్‌ పద్ధతిలో నేర్చుకోవడం చాలా ముఖ్యం.
ప్రతి టాపిక్‌ ఇతర టాపిక్స్‌తో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. కనుక ప్రతి టాపిక్‌లోని బేసిక్స్‌ను నేర్చుకొని వాటిని ఎక్కడ, ఎలా ఉపయోగించాలో నేర్చుకోవడం వల్ల ఎక్కువ మార్కులు సాధించడానికి అవకాశం ఉంటుంది.

ఉదాహరణ
ప్రశ్న – ఒక ప్రదేశంలో 50 పెట్టెలు, 50 మంది వ్యక్తులు ఉన్నారు. మొదటి వ్యక్తి ప్రతి పెట్టెలో ఒక్కొక్క రాయి చొప్పున వేస్తూ వెళ్ళారు. రెండవ వ్యక్తి ప్రతి రెండవ పెట్టెలో రెండు రాళ్ల చొప్పున, మూడవ వ్యక్తి ప్రతి మూడవ పెట్టెలో మూడు రాళ్ల చొప్పున వేస్తూ వెళ్లారు. ఇలా 50వ వ్యక్తి 50వ పెట్టెలో 50 రాళ్లను వేసే వరకు ఈ ప్రక్రియ జరిగింది. అయితే 50వ పెట్టెలో ఉన్న రాళ్ల సంఖ్య ఎంత?
1) 90 2) 93 3) 80 4) 83

పై ప్రశ్నను చూసి ఇది ఏ టాపిక్‌ నుంచి ఇచ్చారో అని ఆలోచిస్తుంటారు.
కానీ పై ప్రశ్నను గమనించినైట్లెతే 50వ పెట్టెలో ఉన్న రాళ్ల సంఖ్య కావాలంటే ముందుగా 50వ పెట్టెలో ఎవరెవరు రాళ్లు వేసారో గమనిద్దాం.
మొదటి వ్యక్తి, రెండవ వ్యక్తి, అయిదవ వ్కక్తి… అలా 50వ వ్యక్తి అంటే 50ని ఏ సంఖ్యలైతే నిశ్శేషంగా భాగిస్తున్నాయో వారు 50వ పెట్టెలో రాళ్లు వేశారు. అంటే మనకు కావాల్సింది 50 కారణాంకాలు 1, 2, 5, 10, 25, 50. 50 కారణాంకాల మొత్తం 1+2+5+10+25+50=93
పై సమాచారం నుంచి గమనించాల్సిన విషయం పరీక్షల్లో 50 కారణాంకాల మొత్తం అని డైరెక్ట్‌గా అడగకుండా ప్రశ్నను ఇలా రూపొందించి ఇవ్వడం జరిగింది.
అందువల్ల గుణిజాలు, కారణాంకాలు అనే అంశాన్ని పరిశీలిద్దాం. ఈ అంశాన్ని పూర్తిగా అర్థం చేసుకోవడం వల్ల ఇతర టాపిక్స్‌ అయిన క.సా.గు గ.సా.భా , కాలం, పని మొదలైన టాపిక్స్‌లో షార్ట్‌కట్స్‌ కోసం ఉపయోగపడుతుంది.

గుణిజాలు
ఒక సంఖ్యను 1, 2, 3, 4,… సహజ సంఖ్యలతో గుణిస్తే వచ్చే లబ్ధాలను ఆ సంఖ్య గుణిజాలు అంటారు.
ఉదా : 7 గుణిజాలు
7×1, 7×2, 7×3….
7, 14, 21,….
గమనిక –
1) ప్రతి సంఖ్య దానికదే గుణిజం అవుతుంది.
2) ఒక సంఖ్య గుణిజాలు అపరిమితం
3) ఒక సంఖ్య గుణిజాలు ఆ సంఖ్య కన్నా ఎక్కువ లేదా ఆ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటాయి.

కారణాంకాలు
ఇచ్చిన సంఖ్యను నిశ్శేషంగా భాగించే సంఖ్యలను ఇచ్చిన సంఖ్య కారణాంకం అంటారు.
ఉదా. 20 కారణాంకాలు
1, 2, 4, 5, 10, 20
గమనిక
1) 1 అనేది ప్రతి సంఖ్యకు కారణాంకం అవుతుంది.
2) ప్రతి సంఖ్య దానికదే కారణాంకం అవుతుంది.
3) ఒక సంఖ్య కారణాంకాలు పరిమితం.
4) 1 తప్ప ప్రతి సంఖ్యకి కనీసం ‘2’ కారణాంకాలు ఉంటాయి. అవి 1, ఆ సంఖ్య ప్రధాన కారణాంకాలు
ఉదా. 20 ప్రధాన కారణాంకాలు
1, 2, 4, 5, 10, 20
గమనిక : 1 ప్రధాన సంఖ్య కాదు కానీ, ఇక్కడ గమనించాల్సిన విషయం ప్రధాన కారణాంకం అనే పదం. ప్రధాన సంఖ్య కాదు. ఇప్పుడు ఒక సంఖ్య కారణాంకాల మీద ఎన్ని విధాలుగా ప్రశ్నలు అడగవచ్చో చూద్దాం.
మొదటగా ఒక చిన్న సంఖ్యని ఉదాహరణగా తీసుకొని వివరంగా చూశాక షార్ట్‌కట్‌లో చూద్దాం.
ఉదా. 20 అనే సంఖ్యను తీసుకుందాం
1. 20 కారణాంకాల సంఖ్య
2. 20 ప్రధాన కారణాంకాల సంఖ్య
3. 20 సరి కారణాంకాల సంఖ్య
4. 20 బేసి కారణాంకాల సంఖ్య
5. 20 కారణాంకాల మొత్తం
6. 20 సరి కారణాంకాల మొత్తం
7. 20 బేసి కారణాంకాల మొత్తం
8. 20 కారణాంకాల లబ్ధం

ఇప్పుడు పై ప్రశ్నలకు జవాబులు..
20 కారణాంకాలు
1, 2, 4, 5, 10, 20
1. 6 (అవి 1, 2, 4, 5, 10, 20)
2. 3 (అవి 1, 2, 5)
3. 4 (అవి 2, 4, 10, 20)
4. 2 (అవి 1, 5)
5. 1+2+4+5+10+20= 42
6. 2+4+10+20= 36
7. 1+5= 6
8. 1x2x4x5x10x20= 8000
పై ప్రశ్నలకు షార్ట్‌కట్‌లో సమాధానాలు పొందడం ఎలా అంటే
మొదటగా 20ని ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా రాస్తే
20 = 22×51
N అనే ఒక సంయుక్త సంఖ్యను
N = ap x bq x cr గా రాసి
ఇక్కడ a, b, cలు ప్రధాన కారణాంకాలు,
p, q, r వాటి ఘాతాలు
1. కారణాంకాల సంఖ్య = (p+1) x (q+1) x (r+1)
= (2+1)(1+1)
3 x 2 = 6

2. ప్రధాన కారణాంకాల సంఖ్య
= p+q+r
2+1=3

3. సరి కారణాంకాల సంఖ్య
= px(q+1) x(r+1)
(a అనేది సరి ప్రధాన కారణాంకం b, cలు బేసి ప్రధాన కారణాంకాలు)
= 2x(1+1)
= 2 x 2
= 4

4. బేసి కారణాంకాల సంఖ్య
= 1x(q+1) x(r+1)
(a అనేది సరి ప్రధాన కారణాంకం b, cలు బేసి ప్రధాన కారణాంకాలు)
= 1(1+1)
= 1x(1+1)
= 1 x 2
= 2

5. కారణాంకాల మొత్తం =
(a0 + a1 + a2 + ap) x (b0+ b1 + b2 + …….bq) x (c0+c1 + c2 +…….+cr)
20 = 22 x 51
= (20 + 21 + 22) (50+51)
= (1+2+4)(1+5)
= 7 x 6
= 42

6. సరి కారణాంకాల మొత్తం
(a1+a2+………ap)x(b0+b1+b2+………bq) x (c0+c1+c2 +…….+cr)
ఒక వేళ ‘a’ అనేది సరి ప్రధాన కారణాంకం, b, cలు బేసి ప్రధాన కారణాంకాలు అయితే
(21+22)x(50+51)
= (2+4) x (1+5)
= 6 x 6
= 36

7. బేసి కారణాంకాల మొత్తం
(a0)x(b0+b1+b2……bq)x(c0+c1+c2+….+cr)
ఒక వేళ a అనేది సరి ప్రధాన కారణాంకం, b, cలు బేసి ప్రధాన కారణాంకాలు అయిన
(20)x(50+51)
1x(1+5)
1×6=6

8. కారణాంకాల లబ్ధం = Nn/2
ఇక్కడ n అనేది ఇచ్చిన సంఖ్య కారణాంకాల సంఖ్య
= (20)6/2
= (20)3
= 8000

1. 540 కారణాంకాల సంఖ్య
1) 20 2) 22
3) 24 4) 26
540 = 22 x 33 x 51
= (2+1)x(3+1)x(1+1)
= 24

2. 360 కారణాంకాల లబ్ధం
1) (360)10 2) (360)12
3) (360)15 4) (360)17
360= 23x32x51
360 కారణాంకాల సంఖ్య
= (3+1)x(2+1)x(1+1)
= 4x3x2
= 24
కారణాంకాల లబ్ధం = (360)24/2
= (360)12

3. 270 కారణాంకాల మొత్తం
1. 720 2. 800 3. 820 4. 780
270 = 21 x 33 x 51
= (20+21)x(30+31+32+33)x(50+51)
= (1+2) x (1+3+9+27) x (1+5)
= 3 x 40 x 6
= 720

4. 100 సరి కారణాంకాల మొత్తం
1. 166 2. 176 3. 186 4. 196
100 = 22×52
= (21+22)x(50+51+52)
= 6 x 31
= 186

5. 120 ప్రధాన కారణాంకాల సంఖ్య
1. 5 2. 6 3. 7 4. 8
120 = 23x31x51
= 3+1+1
= 5

6. 180 బేసి కారణాంకాల మొత్తం
1. 76 2. 78
3. 80 4. 82
180 = 22x32x51
= (20)x(30+31+32)x(50+51)
= 1x(1+3+9)x(1+5)
= 1x13x6
= 78

7. 210 సరి కారణాంకాల సంఖ్య
1. 6 2. 8
3. 10 4. 12
210 = 21x31x51x71
1x(1+1)x(1+1)x(1+1)
1 x 2 x 2 x 2 = 8

8. 500 బేసి కారణాంకాల సంఖ్య
1. 6 2. 8
3. 10 4. 12
500 = 22×53
= 1x(2+1)x(3+1)
= 1x2x4 = 8

9. 150 వరకు గల సహజ సంఖ్యలలో 7 తో నిశ్శేషంగా భాగించే సంఖ్యలెన్ని?
1. 20 2. 21
3. 22 4. 23
7×1, 7×2,…… 7×21
= 21

ప్రాక్టీస్‌ బిట్స్‌
1. 323 అనే సంఖ్య
1) 2 ప్రధాన కారణాంకాలను కలిగి ఉంది.
2) 3 ప్రధాన కారణాంకాలను కలిగి ఉంది.
3) 4 ప్రధాన కారణాంకాలను కలిగి ఉంది.
4) 5 ప్రధాన కారణాంకాలను కలిగి ఉంది.

2. 64 x 86 x 108 x 1210 ప్రధాన కారణాంకాల సంఖ్య
1) 62 2) 72 3) 82 4) 92

3. 760 బేసి కారణాంకాల మొత్తం
1) 100 2) 110 3) 120 4) 130

4. 300 కారణాంకాల మొత్తం
1) 760 2) 768 3) 860 4) 868

5. 10,500 సంఖ్య కారణాంకాల్లో 1, ఆ సంఖ్య తప్ప మిగిలిన కారణాంకాల సంఖ్య
1) 46 2) 36 3) 48 4) 38

6. 1520 కారణాంకాల్లో 1 తప్ప మిగిలిన కారణాంకాల మొత్తం
1) 2370 2) 3720
3) 2730 4) ఏదీ కాదు

జవాబులు
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. 1 6. 4