సంఖ్యావ్యవస్థ ప్రాథమికాంశాలు

పరిచయం
-గణితంలో అంకశాస్త్రం ఒక ప్రధానమైన విభాగం. ఈ విభాగం అభివృద్ధి అంతా సంఖ్యా వ్యవస్థ, సంఖ్యా ధర్మాలపై ఆధారపడి ఉంది. వాస్తవానికి సంఖ్యలు గణిత శాస్త్రానికి మూలాలు. సంఖ్యలు, సంఖ్యామాన ఉద్భవం మానవ చరిత్రలో ఒక మైలు రాయి అని చెప్పవచ్చు.
-దశాంశ సంఖ్యాపద్ధతి గణిత ప్రపంచానికి భారతీయులు ఇచ్చిన కానుక. క్రీ.పూ. 200 ఏండ్ల నుంచే భారతీయులు సున్నాను గణితంలో ఉపయోగించారు.
-క్రీ.శ. 598లోనే బ్రహ్మగుప్తుడు భిన్నాలు, వాటి ప్రక్రియలను వివరించాడు. ఇతడు రచించిన బ్రహ్మస్పుట సిద్ధాంతం అనే ప్రఖ్యాత గణిత గ్రంథం క్రీ.శ. 773లో బాగ్దాద్ నగర ప్రారంభ సందర్భంగా అరేబియా వెళ్లిన కంక అనే ఉజ్జయిని పండితుని ద్వారా అక్కడికి చేరింది.
-శ్రీనివాస రామానుజన్ గణితంలో ప్రధాన సంఖ్యలు, సంఖ్యాలక్షణాలపై ఎనలేని కృషి చేశాడు.
-మహారాష్ట్రలో జన్మించిన దత్తాత్రేయ రామచంద్ర కాప్రేకర్ (1895-1986) సెల్ఫ్, జనరేటెడ్ నంబర్లు పరిచయం చేసి తన పరిశోధనల ద్వారా జగద్విదితమయ్యాడు.

ప్రాథమిక పరిక్రియలు

-గణితంలో నాలుగు ప్రాథమిక పరిక్రియలు ఉన్నాయి. అవి
1. కూడిక లేదా సంకలనం, 2. తీసివేత లేదా వ్యవకలనం
3. గుణాకారం, 4. భాగహారం
-సున్నా కాని ఏ రెండు సంఖ్యల మొత్తమైనా రెండు సంఖ్యల కంటే పెద్దది.
-7 X 5 = 35 అనే గుణకారంలో 7ను గుణ్యం అంటారు. 5ను గుణకం అంటారు. 35ను లబ్దం అంటారు.
-ఒక సంఖ్యచే 1, 2, 3, ….లు గుణించగా వచ్చిన సంఖ్యలను ఆ సంఖ్య గుణిజాలు అంటారు.
-ఒక సంఖ్య ప్రతి గుణిజం ఆ సంఖ్యచే నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.
-భాగహార సూత్రం
(విభాజకం X భాగఫలం) + శేషం= విభాజ్యం
-విభాజ్యం—> భాగింపబడే సంఖ్య
-విభాజకం—> భాగించే సంఖ్య
-భాగఫలం—> భాగించగా వచ్చిన ఫలితం
-శేషం—> భాగించగా మిగిలినది.
-గుణకారం అంటే ఒక సంఖ్యను మళ్లీ మళ్లీ కూడటం.
-భాగహారం అంటే సంఖ్యను మళ్లీ మళ్లీ తీసివేయడం.
-ఒక సంఖ్యా సమాసంలో అనేక పరిక్రియలు ఉన్నప్పుడు BODMAS నియమాన్ని పాటిస్తాం.
అంకెలు
-0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 అనే పది గుర్తులను హిందూ అరబిక్ మానంలో అంకెలు అంటారు. ఇందులో సున్నాను ప్రాధాన్యంలేని అంకె అని మిగిలిన వాటిని ప్రాధాన్యం గల అంకెలు అని అంటారు.

సంఖ్యలు
-సంఖ్యలు అంటే రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ అంకెల కలయిక వల్ల ఏర్పడిన సమూహం.
-ఉదాః 347, 5843, 44795, . . . . . .

సంఖ్యామానం
-సంఖ్యలను అక్షరాల్లో తెలపడాన్ని సంఖ్యామానం అంటారు.ఉదా: ఆరువందల పది (610); దీనిలో రకాలు
-1. దశాంశ సంఖ్యామానం, 2. ద్విసంఖ్యామానం 3. రోమన్ సంఖ్యామానం

సంజ్ఞామానం
-సంఖ్యలను గుర్తులతో తెలపడాన్ని సంజ్ఞామానం అంటారు.
ఉదా: 89 < 79 890 > 731
8 + 9 = 17……

అతి చిన్న – అతి పెద్ద సంఖ్యలు
1 అంకె 1 9 10-1= 9
2 అంకెలు 10 99 100-1 = 99
3 అంకెలు 100 999 1000-1 = 999
4 అంకెలు 1000 9999 10000-1 = 9999
5 అంకెలు 10000 99999 100000-1= 99999
6 అంకెలు 100000 999999 1000000-1= 999999
7 అంకెలు 1000000 9999999 10000000-1= 9999999
-ఒక అంకెకు ఎల్లప్పుడు 2 విలువలు ఉంటాయి. అవి..
1. సహజ విలువ
-సంఖ్యలో అంకెకు ఉండే ముఖ విలువ. ఆ అంకె విలువ మాత్రమే, ఆ విలువకు స్థానంతో నిమిత్తం లేదు.
ఉదా: 4670లో 4 సహజ విలువ= 4
2. స్థాన విలువ
-ఒక సంఖ్యలోని అంకె విలువ అది ఉన్న స్థానాన్ని బట్టి ఉంటుంది. దానిని స్థాన విలువ అంటారు.

హిందూ అరబిక్, ఆంగ్ల విధానాల్లో స్థాన విలువల పట్టిక
హిందూ అరబిక్ 10 అంతర్జాతీయ
విధానం ఘాతరూపం సంఖ్యామానం
పదికోట్లు 108 వందమిలియన్
కోటి 107 పదిమిలియన్
పది లక్షలు 106 మిలియన్
లక్ష 105 వందవేలు
పదివేలు 104 పదివేలు
వేలు 103 వేలు
వందలు 102 వందలు
పదులు 101 పదులు
ఒకట్లు 100 ఒకట్లు
-నోట్: 1 ట్రిలియన్= ఒక మిలియన్ మిలియన్లు
= 106 X 106
-నోట్: బిలియన్= వందకోట్లు= 109
-స్థాన విలువల విధానాన్ని ఉపయోగించిన హిందూ గణిత శాస్త్రవేత్త- భాస్కరాచార్యుడు
-ఒక సంఖ్యలోని అంకెలు ఉన్న స్థానాన్ని బట్టి వాటి విలువలు కూడా మారుతాయి.
ఉదా: 18734925 అనే సంఖ్యలో
1. 7 ముఖ విలువ
2, 9 ముఖ విలువ
3. 4 స్థాన విలువ
4. 3 స్థాన విలువ
5. 8 స్థాన విలువ
6. 5 స్థాన విలువ రాయండి?
సాధన:
1. 7 ముఖ విలువ = 7
2. 9 ముఖ విలువ = 9
3. 4 స్థాన విలువ = 4 X 1000 = 4000
4. 3 స్థాన విలువ = 3 X 10000 = 30000
5. 8 స్థాన విలువ = 8 X 1000000 = 8000000
6. 5 స్థాన విలువ = 5 X 1 = 5

సంఖ్యా విస్తృత రూపం
1. 6724 విస్తృత రూపం= ?
సాధన: 6724 = 6000 + 700 + 20 + 4.
2. 7857035 విస్తృత రూపం= ?
సాధన:
7857635= 70,00,000+8,00,000+50,000+7000+600+30+5
3. 90,000+6000+500+40+5 క్లుప్త (సంక్షిప్త) రూపం?
సాధన: 96,545
సంఖ్యా రేఖ
-పూర్ణ సంఖ్య (లేదా) ఏవేని సంఖ్యలను ఒక రేఖపై గుర్తించినట్లయితే దాన్ని సంఖ్యారేఖ అంటారు.
నోట్: 0 స్థానంలో దాని స్థాన విలువ సున్నాయే.

అతి పెద్ద సంఖ్యలు – వాటికి గల ప్రత్యేక పేర్లు
-తలక్షణం- 1053 (ఇందులో 54 అంకెలున్నాయి)
-మహా సముద్రం- 1052 (ఇందులో 53 అంకెలున్నాయి)
-నోట్: రామాయణంలో వానర సేనను వర్ణించడానికి ఈ పదాన్ని వాడారు.
-అసంఖేయ = 10140 (ఇందులో 141 అంకెలున్నాయి)
-1 గూగోల్= 10100 (ఇందులో 101 అంకెలున్నాయి)
-1 గూగోల్ ఫ్లెక్స్ = 10 గూగోల్
నోట్: గూగోల్, గూగోల్ ఫ్లెక్స్ అనే పదాలను వాడినవారు కేన్నర్, న్యూమన్‌లు.
-అనుయోగ సూత్రం= 296 (ఈ సంఖ్యలో 29 స్థానాలు ఉన్నాయి). ఈ అనుయోగ సూత్రం అనే గ్రంథంలో జీవరాశుల సంఖ్యను తెలుపడానికి ఈ సంఖ్యను వాడారు.

సంఖ్యామానం రకాలు
1. హిందూ అరబిక్ సంఖ్యామానం (లేదా) దశాంశ సంఖ్యామానం, 2. అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానం
-ప్రస్తుతం తెలుగుమీడియం పుస్తకంలోని ఆంగ్ల సంఖ్యామానం పైన తెలిపిన ఆంగ్ల సంఖ్యామానం కాదు. ఆంగ్ల సంఖ్యామానానికి బదులు అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానం అని మార్చలేదు. అమెరికా దేశ సంఖ్యామానమే ప్రస్తుతం అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానంగా వాడుతూ ప్రపంచ దేశాల వ్యాపార సంబంధాలు కొనసాగుతున్నాయి. ప్రస్తుతం ఇంగ్లండ్‌లో కూడా అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానమే వాడుకలో ఉంది. NCERT పుస్తకంలో, కొన్ని ఇంగ్లిష్ మీడియం పుస్తకాల్లో అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానమే రాసి ఉంది. కానీ ఆంగ్ల సంఖ్యామానం అని లేదు. కావున విద్యార్థులు అంర్జాతీయ సంఖ్యామానంగా చెప్పాలి.
-అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానంలో ఉన్న బిలియన్, ట్రిలియన్‌ల విలువల కంటే పూర్వపు బ్రిటిష్ సంఖ్యామానంలో గల బిలియన్, ట్రిలియన్‌ల విలువలు ఎక్కువ. రెండో ప్రపంచ యుద్ధానికి ముందు పూర్వపు ఆంగ్ల సంఖ్యామానం బ్రిటిష్ వలస దేశాల్లో వాడుకలో ఉండేది. కానీ రెండో ప్రపంచ యుద్ధంతో బ్రిటిష్ వారి అధికారం అంతరించి అమెరికా ప్రాబల్యం ఎక్కువైంది, ఫ్రాన్స్‌లో కూడా మొదటి నుంచి అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానం వాడుకలో ఉంది.

దశాంశ సంఖ్యామానం
-10 అంకెలను ఉపయోగించి రాసే సంఖ్యామానాన్ని దశాంశ సంఖ్యామానం అంటారు.
-అంటే 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 అనే అంకెలను ఉపయోగించి రాసే సంఖ్యామానం.