First 8 natural numbered cubes | మొదటి 8 సహజ సంఖ్యల ఘనాల సరాసరి?

సగటు
-దత్తాంశంలోని రాశుల మొత్తాన్ని రాశుల సంఖ్యచే భాగించగా వచ్చే ఫలితాన్ని సగటు లేదా సరాసరి అంటారు.
-సగటు = రాశుల మొత్తం/రాశుల సంఖ్య
-రాశుల సంఖ్య = రాశుల మొత్తం/సగటు
-రాశుల మొత్తం = రాశుల సంఖ్య X సగటు
-సగటు వేగం = దూరాల మొత్తం/కాలాల మొత్తం
-సగటు లేదా సరాసరి అనేది ఇచ్చిన రాశులలో కనిష్ఠ, గరిష్ఠ విలువల మధ్య ఉంటుంది. దేనితో ఏకీభవించకపోవచ్చు.

మొదటి n సహజ సంఖ్యల సరాసరి = (n+1)/2
-మొదటి n సహజ సంఖ్యల వర్గాల సరాసరి = (n+1)(2n+1)/6
-మొదటి n సహజ సంఖ్యల ఘనాల సరాసరి = n(n+1)2/4
-మొదటి n సరి సంఖ్యల సరాసరి = n+1
-మొదటి n బేసి సంఖ్యల సరాసరి = n
-దశాంశంలోని ఏ రెండు వరుస సంఖ్యల మధ్య భేదం సమానంగా ఉంటే ఆ శ్రేణికి సగటు = (మొదటి పదం+చివరిపదం)/2 = (a+1)/2
-K మొదటి n గుణిజాల సరాసరి = k (n+1)/2

వివరణలు
1. 47, 68, 90, 35 ల సగటు ఎంత?
సాధన: సగటు = రాశుల మొత్తం/రాశుల సంఖ్య
= (47+68+90+35)/4
= 240/4
సగటు = 60
2.మొదటి 25 సహజ సంఖ్యల సరాసరి ఎంత?
సాధన: మొదటి n సహజ సంఖ్యల సరాసరి = (n+1)/2
మొదటి 25 సహజ సంఖ్యల సరాసరి = (25+1)/2
= 26/2 = 13

3.1, 4, 9, 16, 25 ల సరాసరి ఎంత?
సాధన: పై శ్రేణిలోని 5 అంకెలు మొదటి 5 సహజ సంఖ్యల
వర్గాలు (1, 2, 3, 4, 5ల వర్గాలు).
కాబట్టి మొదటి n సహజ సంఖ్యల వర్గాల సరాసరి
= (n+1)(2n+1)/6
= (5+1) (2×5+1)/6
= (6×11)/6
సరాసరి = 11

4.మొదటి 8 సహజ సంఖ్యల ఘనాల సరాసరి ఎంత?
సాధన: మొదటి n సహజ సంఖ్యల ఘనాల సరాసరి
= n(n+1)2/4
= 8(8+1)2/4
= (8x9x9)/4
= 648/4
సరాసరి = 162

5.మొదటి 11 సరిసంఖ్యల సరాసరి ఎంత?
సాధన: మొదటి n సరిసంఖ్యల సరాసరి = n+1
కాబట్టి మొదటి 11 సరి సంఖ్యల సరాసరి = 11+1 = 12
సరి సంఖ్యల సరాసరి = 12.

6.మొదటి 8 బేసి సంఖ్యల సరాసరి ఎంత?
సాధన: మొదటి n బేసి సంఖ్యల సరాసరి = n
కాబట్టి మొదటి 8 బేసి సంఖ్యల సరాసరి = 8
సరాసరి = 8

7. 25, 30, 25, 40, 45, 50 ల సగటు ఎంత?
సాధన: పై శ్రేణిలో అన్ని వరుస సంఖ్యల మధ్య భేదం సమానంగా (+5) ఉంది. శ్రేణిలోని ఏ రెండు వరుస సంఖ్యల మధ్య భేదం సమానంగా ఉన్నా (మొదటి పదం + చివరి పదం)/2 అనే సూత్రం వర్తిస్తుంది.
కాబట్టి మొదటి పదం a, చివరి పదం 1 అనుకున్న..
(a + 1)/2
= (25+50)/2
= 75/2 = 37.5
సగటు = 37.5

8.P, Q అనే రెండు స్టేషన్ల మధ్య ప్రయాణించే ఒక రైలు, P నుంచి బయలుదేరి గంటకు 100 కి.మీ. సగటు వేగంతో ప్రయాణించి Q ని చేరుకుంటుంది. Q నుంచి తిరిగి బయలుదేరి గంటకు 150 కి.మీ. సగటు వేగంతో ప్రయాణించి P ని చేరుకుంటుంది. అయితే మొత్తం ప్రయాణంలో రైలు వేగం ఎంత?
సాధన: P, Q స్టేషన్ల మధ్య దూరం x కి.మీ. అనుకుంటే..
సగటు వేగం = మొత్తం ప్రయాణించిన దూరం/ మొత్తం కాలం
P, Q మధ్య x కి.మీ. ప్రయాణించేందుకు పట్టేకాలం..
= x/100 గంటలు
అదేవిధంగా Q, P మధ్య x కి.మీ. ప్రయాణించేందుకు
పట్టుకాలం = x/150 గంటలు
2x కి.మీ. ప్రయాణించేందుకు పట్టిన మొత్తం కాలం
= x/100 + x/150 = x /60 గంటలు
సగటు = రాశుల మొత్తం/రాశుల సంఖ్య
= 2x/x/60
= (2x X 60)/x = 120
రైలు సగటు వేగం = 120 కి.మీ/గంట.

9.7 మొదటి 5 గుణిజాల సగటు ఎంత?
సాధన -1: 7 మొదటి 5 గుణిజాలు వరుసగా 7, 14, 21, 28, 35.
7 ను K, మొదటి 5 గుణిజాలను n అనుకున్న..
K మొదటి n గుణిజాల సరాసరి = k((n+1)/2)
= 7((5+1)/2)
= 7X3 = 21
7 మొదటి 5 గుణిజాల సగటు – 21.

(లేదా)

సాధన -2: 7 మొదటి 5 గుణిజాలు వరుసగా..
7, 14, 21, 28, 35
పై శ్రేణిలో ప్రతి రెండు వరుస సంఖ్యల మధ్య భేదం సమానంగా (+7) ఉంది. శ్రేణిలోని ఏ రెండు వరుస సంఖ్యల మధ్య భేదం సమానంగా ఉన్నా (మొదటి పదం + చివరి పదం)/2 అనే సూత్రం వర్తిస్తుంది.
కాబట్టి మొదటి పదం a, చివరి పదం 1 అనుకున్న – (a + 1)/2
= (7+35)/2
= 42/2 = 21.

10.4 సంఖ్యల సగటు 30. వాటిలో 3 సంఖ్యలు 27, 22, 33 అయిన మరో సంఖ్య ఎంత?
సాధన: 4 సంఖ్యల సగటు = 30
4 సంఖ్యల మొత్తం = 4 X 30 = 120
ఇచ్చిన 3 సంఖ్యల మొత్తం = 27+22+33 = 82
4వ సంఖ్య = 120-82 = 38
కావాల్సిన మరో సంఖ్య – 38.