వర్తులామానం అని దేన్ని అంటారు?

త్రికోణమితి పరిచయం
-త్రికోణమితి త్రిభుజంలోని కొలతల గురించి చర్చించే శాస్త్రం. ఇది లంబకోణ త్రిభుజం ఆధారంగా నిర్మితమైంది.

లంబకోణ త్రిభుజం
1. అతి పెద్ద భుజమే కర్ణం
2. మిగిలిన భుజాలను ఎదుటి ఆసన్న భుజాలుగా పరిగణిస్తారు.
3. ఈ మూడు భుజాలను ట్రయోడ్‌లు అంటారు.
4. ఒక కోణం తప్పనిసరిగా 90 డిగ్రీలు ఉంటుంది.
5. మిగిలిన రెండు కోణాలు పూరకాలు, ఒక్కొక్క కోణం అల్పకోణం (0 < 90o).
6. (కర్ణం)2 = (ఎదుటి భుజం)2 + (ఆసన్న భుజం)2
దీనిని పైథాగరస్ ట్రయోడ్ సిద్ధాంతం అంటారు.
-త్రికోణమితి అనే పదం గ్రీకు భాష నుంచి పుట్టింది.
-గ్రీకు భాషలో Trio అంటే మూడు, Gonia అంటే కోణం, Metron అంటే మాపనం లేదా కొలత అని అర్థం. అంటే త్రికోణమితి అంటే మూడు కోణాల కొలత అని అర్థం.
-త్రిభుజంలోని మూడు భుజాలకు, మూడు కోణాలకు మధ్యగల సంబంధాలను హిప్పారకస్ అనే గ్రీకు గణిత
శాస్త్రజ్ఞుడు ఏర్పరిచాడు.
-త్రికోణమితిని ఇంజినీరింగ్, సర్వేయింగ్, సముద్రయాణం, అంతరిక్షవిజ్ఞానం వంటి అనేక రంగాల్లో ఉపయోగిస్తారు.
-లంబకోణం అంటే 90o గల కోణం.
-అల్పకోణం 0o నుంచి 90o ల మధ్యగల కోణం.
-అధికకోణం 90o నుంచి 180o ల మధ్యగల కోణం.
-కోణం చేసిన తర్వాత భ్రమణ కిరణం ఏ స్థానంలో అగుతుందో ఆ కిరణాన్ని అంతిమ కిరణం అంటారు.
-అంతిమ కిరణం లేదా భుజం శీర్షం వద్ద ఒక సంపూర్ణ భ్రమణాన్ని పూర్తి చేసినచో ఆ కోణం విలువ 360o.
-అంతిమ భుజం సవ్యదిశలో భ్రమణం చేస్తూ చేసిన కోణాన్ని ధనాత్మక పరిమాణంగాను, అపసవ్యదిశలో భ్రమణం చేస్తూ చేసిన కోణాన్ని రుణాత్మక పరిమాణం గాను తీసుకుంటారు.
-చిన్న కోణాలను కొలవడానికి ముఖ్యంగా మూడు మానాలు అమలులో ఉన్నాయి. అవి
1. షష్ఠ్యాంశ మానం (ఆంగ్ల పద్ధతి- డిగ్రీలు)
2. శతాంశ మానం (ఫ్రెంచి పద్ధతి-గ్రేడ్‌లు)
3. రేడియన్ మానం (వర్తులామానం- రేడియన్‌లు)

1. షష్ఠ్యాంశ మానం (ఆంగ్ల పద్ధతి)
డిగ్రీ: తొలి భుజం నుంచి అంతిమ భుజానికి ఏర్పడిన భ్రమణం ఒక సంపూర్ణ భ్రమణంలో 360వ భాగం అయితే ఆ కోణ ప్రమాణాన్ని ఒక డిగ్రీ అంటారు. దీనిని 1o తో సూచిస్తారు.
నిమిషం: ఒక డిగ్రీని 60 సమాన భాగాలు చేసి ఒక్కొక్క భాగాన్ని 1 నిమిషం అంటారు. దానిని 1 అని సూచిస్తారు.
సెకండు: ప్రతి నిమిషాన్ని తిరిగి 60 సమాన భాగాలుగా చేసి ప్రతి సమ భాగాన్ని ఒక సెకండు అంటారు. దీనిని 1॥ గా సూచిస్తారు.
ప్రతి దశలో 60 సమ భాగాలు చేయడం వల్ల ఈ మానానికి షష్ఠ్యాంశమానం అని పేరు వచ్చింది.
-1o = 60; 1=60॥

2. శతాంశ మానం (ఫ్రెంచి పద్ధతి)
-ఈ మానం ఫ్రెంచి వారు ఎక్కువగా ఉపయోగించేవారు. ఈ మానంలో ఒక లంబకోణాన్ని 100 సమ భాగాలుగా చేసి ఒక్కొక్క భాగాన్ని ఒక గ్రేడ్ అంటారు. ఒక గ్రేడ్ 1g తో సూచిస్తారు.
90o = 100g

3. రేడియన్ మానం (వర్తులామానం)
రేడియన్: O కేంద్రంగా r వ్యాసార్థంతో ఒక వృత్తాన్ని తీసుకోండి. వృత్త వ్యాసార్థం (r) తో సమానమైన చాపాన్ని వృత్త పరిధిపై తీసుకుంటే ఆ చాపం అదే వృత్త కేంద్రం వద్ద చేసే కోణాన్ని ఒక రేడియన్ అంటారు. ఈ కోణానికి శీర్షం వృత్త కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది. దీనిని rc తో సూచిస్తారు.
-రేడియన్ వృత్తాన్నికి సంబంధించినందున రేడియన్ మానాన్ని వర్తులామానం అని అంటారు.
2 రేడియన్లు = 360o అంటే 2 = 360o
రేడియన్లు = 180o అంటే = 180o
1 రేడియన్ = 1c =180o/ = 57o1611
1 డిగ్రీ = 1o = 0.01746 రేడియన్ (సుమారు)
-రేడియన్ ఒక కోణ ప్రమాణం
l = r ( రేడియన్‌లలో వ్యక్తం చేయాలి)
l = వృత్త చాపం
r = వ్యాసార్థం
= కోణం
D/90o = G/100g = C/

-ఈ సూత్రంలో D డిగ్రీలను, G గ్రేడ్‌లను, C రేడియన్‌లను సూచిస్తాయి.
-కోణ ప్రమాణాన్ని షష్ఠ్యాంశ మానంలో నుంచి వర్తులామానంలోనికి మార్చాలంటే గుణించాలి.
-ఉదా: 72o ను వర్తులామానంలోనికి మార్చండి.
-సాధన: 72o = 72o x ( 2
-కోణ ప్రమాణాన్ని వర్తులామానంలో నుంచి షష్ఠ్యాంశ మానం లోనికి మార్చాలంటే 180/ గుణించాలి. అంటే ఉన్న చోట 180o రాయాలి.
-ఉదా: ను షష్ఠ్యాంశ మానంలోనికి మార్చండి.
-సాధన: = 180o/5 = 36o
-ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో అల్పకోణమైతే, త్రిభుజ భుజాల నుంచి త్రికోణ నిష్పత్తులు నిర్వచిస్తాము.
-లంబకోణానికి ఎదుటి భుజం = కర్ణం (AC)
– కు ఎదుటి భుజం = ఎదుటి భుజం (AB)
– కు పక్క భుజం = పక్కభుజం (BC) (or) ఆసన్న భుజం

త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు:
-Sin = ఎదుటి భుజం/కర్ణం = AB/AC
-Cos = ఆసన్న భుజం/ కర్ణం = BC/AC
-Tan = ఎదుటి భుజం / ఆసన్న భుజం = AB/BC
-Cosec = కర్ణం / ఎదుటి భుజం = AC/AB
-Sec = కర్ణం / ఆసన్న భుజం = AC/BC
-Cot = ఆసన్న భుజం / ఎదుటి భుజం = BC/AB
-వివిధ కోణాల (0o 900) వద్ద త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు

త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల మధ్య సంబంధం:
-Cosec (or) sin = 1/cosec (or) sin = 1
-Sec =1/cos (or) cos (or) cos = 1
-Cot =1/tan (or) tan =1/cot (or) tan = 1
-Tan = Sin = sec = sin
= 1/cosec
-Cot = cos =1/sin
=cos
= 1/sin

త్రికోణమితి సర్వ సమీకరణాలు

1. sin2
-Sin2 =1-cos2 =(1+cos
-Cos2 =1-sin2 =(1+sin

2. 1+tan2 = sec2
-Tan2
-Sec2
-(sec
-Sec = 1/sec (or)
-Sec = 1/sec

3. 1+cot2
-Cot2 = cosec2 = (cosec
-Cosec2
-(cosec
-Cosec = 1/cosec (or)
-Cosec = 1/cosec

సంయుక్త కోణాలు
-కొన్ని అల్పకోణాలను సంకలన, వ్యవకలన పరిక్రియల ద్వారా నీకు తెలిసిన త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులలోనికి మార్పు చెందించుట.
Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
Sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
Cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
Cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
Tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
Tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
Sin2A=2sinA.cosA
Cos2A=cos2A-sin2A
Tan2A=2tanA/(1-tan2A)
-ఊర్థ్ధ కోణం: పరిశీలన వస్తువు ఎక్కువ ఎత్తులో ఉన్నప్పుడు ఏర్పడే కోణం ఊర్థకోణం.
నిమ్నకోణం: పరిశీలకుడు ఎక్కువ ఎత్తులో ఉన్నప్పుడు ఏర్పడే కోణం నిమ్నకోణం.
గమనిక: ఊర్థ, నిమ్న కోణాలు సమానం. ఎందుకంటే ఇవి ఏకాంతర కోణాలను సూచిస్తాయి.
చూసేవస్తువు, పరిశీలకుని కన్ను (దృష్టి) గుండా గీచిన క్షితిజ సమాంతర రేఖకూ, పరిశీలకుని కంటిని, వస్తువును కలిపే సరళరేఖకూ మధ్యనున్న కోణాన్ని ఊర్థకోణం.