2తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడే సంఖ్యలు ఏవి?

సంఖ్యావ్యవస్థ (Number System)
-0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9లను అంకెలు అంటారు.
-అంకెల కలయికతో ఏర్పడేవి సంఖ్యలు
-ఉదా: 10, 99, 143, 1000, ……
ముఖవిలువ-స్థాన విలువ
-789 అనే సంఖ్యలో
8 ముఖ విలువ 8
7 ముఖ విలువ 7
9 ముఖ విలువ 9 కానీ..
-789 అనే సంఖ్యలో
8 స్థాన విలువ 8 x 10= 80
7 స్థాన విలువ 7 x 100= 700
9 స్థాన విలువ 9 x 1= 9
గమనిక: 9 అనే అంకె ఒకట్ల స్థానంలో, 8 పదుల స్థానంలో, 7 వందల స్థానంలో ఉంది.
6425 అనే సంఖ్యలో 4 స్థాన విలువ,
ముఖ విలువల మధ్య భేదం ఎంత?
-4 స్థాన విలువ= 4 x 100= 400
-4 ముఖ విలువ= 4
-భేదం= 400 – 4= 396
20, 79, 156 అనే సంఖ్యలో 9 స్థాన, ముఖ
విలువల మొత్తం ఎంత?
-ఇచ్చిన సంఖ్యలో
9 స్థాన విలువ= 9 x 1000= 9000
9 ముఖ విలువ= 9
మొత్తం= 9000 + 9= 9009

సంఖ్యలు-రకాలు
సహజ సంఖ్యలు (N)= {1, 2, 3, 4,….}
-మనం లెక్కించగలిగే సంఖ్యలన్నీ సహజ సంఖ్యలే.
-సహజ సంఖ్యల్లో అతిచిన్న సంఖ్య= 1
-సహజ సంఖ్యల్లో అతిపెద్ద సంఖ్య= చెప్పలేం
పూర్ణాంకాలు (W)= {0, 1, 2, 3, ….}
-పూర్ణాంకాల్లో అతిచిన్న సంఖ్య= 0
-పూర్ణాంకాల్లో అతిపెద్ద సంఖ్య= చెప్పలేం
పూర్ణసంఖ్యల సమితి (Z)
-Z= {… -3, -2, -1,0, 1, 2, 3,….}
-ఇందులో అతిచిన్న, అతిపెద్ద రెండు సంఖ్యలను చెప్పలేం.
సరి పూర్ణసంఖ్యలు (E): 2తో నిశ్శేషంగా భాగించబడే పూర్ణసంఖ్యలను సరి పూర్ణసంఖ్యలు అంటారు. దీన్ని Eతో సూచిస్తారు.
E= { ….}
బేసి పూర్ణసంఖ్యలు (O): 2తో నిశ్శేషంగా భాగించబడని సంఖ్యలను బేసి పూర్ణ సంఖ్యలు అంటారు. దీన్ని Oతో సూచిస్తారు.
E= { ……}
గమనిక: O అనేది సరి పూర్ణసంఖ్య కాదు, బేసి పూర్ణసంఖ్య కాదు.
-అకరణీయ సంఖ్యలు (Q)= {p/q, q p, qలు పూర్ణసంఖ్యలు.
-p/q రూపంలో (భిన్నరూపంలో) (q రాయగలిగే సంఖ్యలన్నింటినీ అకరణీయ సంఖ్యలు అంటారు. దీన్ని Qతో సూచిస్తారు.
ఉదా: 6, 10, 5/3, 99/100, 0.5, 0.3333, …. =1/3
గమనిక: అన్ని సహజ సంఖ్యలు పూర్ణ సంఖ్యలు
-అన్ని పూర్ణసంఖ్యలు అకరణీయ సంఖ్యలు
కరణీయ సంఖ్యలు (Q1)= p/q రూపంలో రాయలేని సంఖ్యలన్నీ కరణీయ సంఖ్యలు అవుతాయి. లేదా అకరణీయ సంఖ్యలు కాని సంఖ్యలన్నీ కరణీయ సంఖ్యలే.
ఉదా: 3+ 2
గమనిక: eలు కూడా కరణీయ సంఖ్యలు

వాస్తవ సంఖ్యలు (R)
-అకరణీయ, కరణీయ సంఖ్యల మొత్తాన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు. దీన్ని Rతో సూచిస్తారు. R= Q Q1

సంకీర్ణ సంఖ్యలు (C)
-a, bలు వాస్తవ సంఖ్యలు అయి ఉండే విధంగా a+ib రూపంలో రాయగలిగే సంఖ్యలను సంకీర్ణ సంఖ్యలు (c) అంటారు. ఇక్కడ i అనేది Imaginary Number
c= {a+ ib/i=

సరి సంఖ్యలు
-2తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడే సంఖ్యలన్నీ సరిసంఖ్యలు. ఉదా: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ……
-సరి సంఖ్యల సాధారణ రూపం= 2K, K ఒక పూర్ణాంకం

బేసి సంఖ్యలు
-2తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడని సంఖ్యలన్నీ బేసి సంఖ్యలు. ఉదా: 1, 3, 5, 7, ….
-బేసి సంఖ్యల సాధారణ రూపం= 2K + 1, K ఒక పూర్ణాంకం

కారణాంకాలు (భాజకాలు)
-ఒక సంఖ్యను నిశ్శేషంగా భాగించే సంఖ్యలన్నింటినీ ఆ సంఖ్యకు కారణాంకాలు లేదా భాజకాలు అంటారు. a అనేది bని నిశ్శేషంగా భాగిస్తే a, bకి కారణాంకం అవుతుంది.
ఉదా: 24కు కారణాంకాలు ఏవి?
1x 24= 24
2x 12= 24
3x 8= 24
4x 6= 24
-24కు కారణాంకాలు={1,2,3,4,6,8,12,24}
గమనిక: 1 అనేది ప్రతిసంఖ్యకు కారణాంకం, ప్రతి సంఖ్య దానికదే కారణాంకం.

ప్రధాన సంఖ్య
-ఒక సంఖ్యకు ఒకటి (1), అదే సంఖ్య తప్ప ఇతర కారణాంకాలు ఏవి లేకపోతే ఆ సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్య అంటారు.
ఉదా: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
-2 అనేది ఒకే ఒక సరిప్రధాన సంఖ్య
-1 నుంచి 50 వరకు మొత్తం 15 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి.
-50 నుంచి 100 వరకు మొత్తం 10 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి.
-కాబట్టి 1 నుంచి 100 వరకు మొత్తం 25 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి.

కవల ప్రధాన సంఖ్యలు
-రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య బేధం 2 అయితే వాటిని కవల ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.
ఉదా: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43)

సహప్రధాన సంఖ్యలు (Co-Primes)
-రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా 1కి సమానమైతే వాటిని సహ ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.
ఉదా: (2, 3), (5, 6), (10, 11), (11, 13), ….
-ప్రతి రెండు వరుస సంఖ్యలు సహప్రధాన సంఖ్యలు అవుతాయి.
-సహప్రధాన సంఖ్యల్లో రెండు సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలు కానవసరం లేదు.
-అతిచిన్న ప్రధాన సంఖ్య= 2
-అతిచిన్న లేదా ఒకేఒక సరిప్రధాన సంఖ్య= 2
-రెండంకెల అతిపెద్ద ప్రధాన సంఖ్య= 97
-రెండంకెల అతిచిన్న ప్రధాన సంఖ్య= 11
437 ఒక ప్రధాన సంఖ్య అవునా? కాదా?
-ముందుగా 437కి దగ్గరగా ఒక కచ్చిత వర్గసంఖ్య తీసుకోవాలి. అది 441. ఇది 21 వర్గం.
441 > 437
(21)2 > 437
-ఇప్పుడు ఈ 21 కన్నా తక్కువగా ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలు తీసుకోవాలి. అవి 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
-437… 19తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడింది. కావున అది ప్రధాన సంఖ్యకాదు. ఒకవేళ 437 అనేది 21 కన్నా తక్కువైనా ఏ ప్రధాన సంఖ్యతో కూడా భాగింపబడకపోతే 437 ప్రధాన సంఖ్య అంటారు.

811 ప్రధాన సంఖ్యేనా?
-811కి దగ్గరిగా ఉన్న కచ్చితవర్గం 900
900.811
(30)2.811
-30 కన్నా చిన్నవైన ప్రధాన సంఖ్యలు=
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
-ఇందులో ఏ సంఖ్య కూడా 811ని నిశ్శేషంగా భాగించవు. కావున 811 ఒక ప్రధాన సంఖ్య.
గమనిక: 811 అనేది ఆ అన్ని సంఖ్యలతో భాగింపబడుతుందా లేదా అని బాజనీయతా సూత్రాల ఆధారంగా సులభంగా లెక్కించవచ్చు.

సంఖ్యాశాస్త్రం భావనలు
అన్ని సరిసంఖ్యలను 2తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.
ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3తో నిశ్శేషంగా భాగించబడితే.. ఆ సంఖ్యను కూడా 3 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.
ఒక సంఖ్యలోని ఒకట్లు, పదుల స్థానంలోని అంకెలతో ఏర్పడిన సంఖ్య 4 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడితే.. ఆ సంఖ్యను కూడా 4 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. ఒకట్ల, పదుల స్థానాల్లో రెండూ సున్నాలే ఉన్న సంఖ్యను కూడా 4 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.
ఒక సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో 0 లేదా 5 ఉన్నట్లయితే.. ఆ సంఖ్యను 5 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.
ఒక సంఖ్య 2, 3 రెండింటితోనూ నిశ్శేషంగా భాగించబడితే.. ఆ సంఖ్యను 6 తో కూడా నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.
ఒక సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెను 5 తో గుణించగా వచ్చిన లబ్ధాన్ని, మిగితా అంకెల మొత్తంతో కూడిగా వచ్చే సంఖ్య 7 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడితే.. ఆ సంఖ్యను కూడా 7 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.
ఒక సంఖ్యలోని చివరి మూడు అంకెలతో ఏర్పడిన సంఖ్య 8 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడితే.. ఆ సంఖ్యను కూడా 8 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.
ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడితే.. ఆ సంఖ్యను కూడా 9 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.
ఒక సంఖ్య చివర సున్నా ఉన్నట్లయితే.. ఆ సంఖ్యను 10 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.