Arithmetic -TSPSC Group 4 Special | మొదటి, చివరి సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం ఎంత?

1. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి?
Statement-I: సంయుక్త సంఖ్యలకు కనీసం రెండు కారణాంకాలు ఉంటాయి.
Statement-II: కవల ప్రధాన సంఖ్యల మధ్యభేదం 2 ఉంటుంది.
సరైన సమాధానం ఎంచుకోండి.
ఎ. I సరైనది, II సరైనది
బి. I సరికానిది,II సరికానిది
సి. I సరికానిది, II సరైనది
డి. I సరైనది, II సరికానిది.
సమాధానం: సి
వివరణః ఏదైనా ఒక సంఖ్య కనీసం 3 కారణాంకాలను కలిగి ఉంటేనే అది సంయుక్త సంఖ్య అవుతుంది. కావున ప్రవచనం 1 సరైనది కాదు. కవల ప్రధాన సంఖ్యల మధ్యభేదం 2 ఉంటుంది కావున ప్రవచనం 2 సరైనదే.
2. నాలుగు వరుస సహజ సంఖ్యల మొత్తం 54 అయితే మొదటి, చివరి సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం ఎంత అవుతుంది.
ఎ. 81 బి. 172 సి. 298 డి. 369
సమాధానం: డి
వివరణ: దత్తాంశం ప్రకారం నాలుగు వరుస సహజ సంఖ్యల మొత్తం 54 కావున వాటి సరాసరి 54/4 = 13.5
అప్పుడు ఆ సంఖ్యలు 12, 13, 14, 15 అగును. కావున మొదటి, చివరి సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం = 122+152 = 369
3. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి?
Statement-I: ఏవైనా రెండు వరుస సంఖ్యలు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు కావాలంటే అవి ప్రధాన సంఖ్యలు కానవసరంలేదు.
Statement-II: ప్రధాన సంఖ్యలన్నీ భేసి సంఖ్యలే, భేసి సంఖ్యలన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలు కావు.
సరైన సమాధానం ఎంచుకోండి.
ఎ. I సరైనది, II సరైనది
బి. I సరికానిది,II సరికానిది
సి. I సరికానిది, II సరైనది
డి. I సరైనది, II సరికానిది.
సమాధానం: డి
వివరణ: 3, 4 లు వరుస సంఖ్యలు, పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు. కాని 4 ప్రధాన సంఖ్య కాదు. కావున ప్రవచనం 1 సరైనదే.
ప్రవచనం 2 లో ప్రధాన సంఖ్యలన్నీ భేసి సంఖ్యలే అని ఇచ్చారు. ఇది సరైనది కాదు, ఎందుకంటే 2 ప్రధాన సంఖ్య కాని భేసి సంఖ్యకాదు.
4. 1856378 అనేది..?
ఎ. సంపూర్ణ వర్గం
బి. ప్రధాన సంఖ్య
సి. సంపూర్ణవర్గ సంఖ్యకాదు
డి. ఏదీకాదు సమాధానం: సి
వివరణ: దత్తసంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో 8 ఉంది కావున ఇది 2తో విభాజితం కావున ప్రధాన సంఖ్యకాదు. అదేవిధంగా ఏదైనా ఒక సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో 2, 3, 7, 8లను కలిగి ఉంటే ఆ సంఖ్య సంపూర్ణ వర్గ సంఖ్యకాదు.
5. అతి సమీప పూర్వగామి సంఖ్య ఈ కింది వేటిలో కనుగొనలేం?
ఎ. సహజ సంఖ్యాసమితి
బి. పూర్ణసంఖ్యాసమితి
సి. పూర్ణాంకాల సమితి
డి. అకరణీయ సంఖ్యాసమితి
సమాధానం: డి
వివరణ: అతిసమీప పూర్వగామి అంటే ఒక సంఖ్య తరువాత వెంటనే వచ్చే అంకె. అంటే సహజ సంఖ్యాసమితిని పరిశీలిస్తే ఇది 1తో ప్రారంభమవుతుంది, 1 పూర్వగామి 2, 2 పూర్వగామి 3, 3 పూర్వగామి 4….. అంటే ప్రతి సహజ సంఖ్యకు అదే విధంగా పూర్ణ సంఖ్యకు, పూర్ణాంకాలకు సమీప పూర్వగామిలు ఉంటాయి. కాని అకరణీయ సంఖ్యాసమితిలో ఒక సంఖ్య వెంటనే వచ్చు సంఖ్యను చెప్పలేం. (ఇది సాంద్రతా ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది).
6. ఒక విద్యార్థిని ఒక సంఖ్యను 3తో భాగించమన్నారు. భాగించడానికి బదులుగా ఆ విద్యార్థి ఆ సంఖ్యను 3తో గుణించి 29.7ను లబ్ధంగా పొందాడు. సరైన సమాధానం ఏమిటి?
ఎ. 3.3 బి. 3.9
సి. 9.9 డి. ఏదీకాదు
సమాధానం: ఎ
వివరణ: కావలసిన సంఖ్యను x అనుకోండి. దత్తాంశం ప్రకారం ఈ సంఖ్యను 3తో భాగించాలి. అనగా x/3 చేయాలి.
కాని విద్యార్థి ఆ సంఖ్యను 3తో గుణించి లబ్ధం 29.7గా పొందాడు.
అంటే 3x = 29.7
x = 29.7/3
x = 9.9
సరైన సమాధానం x/3 = 9.9/3 = 3.3
7. రెండు ధనాత్మక సంఖ్యల లబ్ధం 2500 వాటిలో ఒకటి మరొక దానికి నాలుగింతలైతే, ఆ రెండు సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?
ఎ. 25 బి. 125
సి. 225 డి. పైవేవీకావు
సమాధానం: బి
వివరణ: కావలసిన సంఖ్యలు a, b అనుకోండి.
దత్తాంశం ప్రకారం
axb = 2500—-(1)
a = 4b ——-(2)
మనం a+b విలువ కనుగొనాలి
సమీ.(2) నుంచి a/b = 4/1
a:b = 4:1
అంటే ఆ సంఖ్యలు 4a, a రూపంలో ఉంటాయి.
4axa = 2500
4a2 = 2500
a2 = 625
a = 25
మరొక సంఖ్య 4a = 4(25) = 100
సంఖ్యల మొత్తం 25+100 = 125
8. (2100-1), (2120-1) ల గ.సా.భా.?
ఎ. 0 బి. 1 సి. 220-1 డి. 220
సమాధానం: సి
వివరణ: (xn-1)(xm-1) ల గ.సా.భా. =
(xn, m ల గ.సా.భా.-1)
100, 120ల గ.సా.భా. = 20
దత్తసంఖ్యల గ.సా.భా = 220-1
9. (111111………… 1000సార్లు),
(1111111….. 60సార్లు) ల గ.సా.భా.
ఎ. 111…. (10సార్లు)
బి. 1111….. (20సార్లు)
సి. 111…. (60సార్లు) డి. 1
సమాధానం: బి
వివరణ:1000, 60 ల గ.సా.భా. = 20
కావున దత్త సంఖ్యల గ.సా.భా = 1111… (20సార్లు)
10. 1! + 2! + 3! + 4! + . .. . . . . . . +15! సంఖ్య 10తో భాగిస్తే శేషం.
ఎ. 3 బి. 6 సి. 0 డి. ఏదీకాదు
సమాధానం: ఎ
వివరణ: 1! + 2! + 3! + 4! + . . . +15! = 1+2+6+24+(120+720+5040+……..+15!)
ఇక్కడ 4! నుంచి 15! వరకు గల సంఖ్యల మొత్తాన్ని 10తో భాగిస్తే శేషం 0 వస్తుంది.
కావున మిగిలిన సంఖ్యల మొత్తం = 1+2+6+24 = 33, 10 తోభాగిస్తే శేషం 3.
11. P = (2, 3, 4, 5, 6 . . . . . . 100),
Q = (101, 102, 103, . . . . . 200)
అయితే P లోని సంఖ్యలను కారణాంకాలుగా కలిగిఉండని సంఖ్యలు Q లో ఎన్ని కలవు.
ఎ. 25 బి. 22 సి. 21 డి. 29
సమాధానం: సి
వివరణ: 1 నుండి 100 వరకు గల ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య = 25
1 నుంచి 200 వరకు గల ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య = 46
అనగా 100 నుంచి 200 వరకు గల ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య = 21
ఇవియే P లోని సంఖ్యలను కారణాంకాలుగా కలిగి ఉండని Q లోని సంఖ్యల సంఖ్య.
12. 500<m<900, m అనేది 4కు గుణిజం, 6 గుణిజం కాదు. అయితే m కు వ్యవస్థితమయ్యే పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్య.
ఎ. 67 బి. 34 సి. 66 డి. 33
సమాధానం: సి
వివరణ: కావలసిన పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్య = 500, 900 మధ్య 4తో భాగించే సంఖ్యల సంఖ్య – 500 , 900 మధ్య 12తో భాగించే సంఖ్యల సంఖ్య. (4, 6 ల క.సా.గు 12)—–(1)
మొదటగా 500- 900 మధ్య 4తో భాగించే సంఖ్యల సంఖ్యను కనుగొందాం.
504, 508, 512……………….896 లు 500-900 మధ్యలోగల 4తో భాగిచే సంఖ్యలు.
వీటి సంఖ్య = ((చివరిసంఖ్య-మొదటి సంఖ్య)/భేదం)+1
= ((896-504)/4)+1
= (392/4)+1
= 98 ——(2)
అదేవిధంగా 500, 900 ల మధ్య 12తో భాగించే సంఖ్యల సంఖ్య = ((చివరిసంఖ్య-మొదటిసంఖ్య)/భేదం)+1
= ((888-504)/4)+1
= 32 ——(3)
సమీకరణం (2), (3) లను సమీ. (1)లో రాయగా
కావలసిన సంఖ్యల సంఖ్య = 98-32 = 66
13. సున్నా(0)కు గుణాకార విలోమం..
ఎ. 0 బి. 1
సి. 0 లేదా 1 డి. ఉండదు
సమాధానం: డి
వివరణ: రెండు సంఖ్యల లబ్ధం గుణాకార తత్సమ మూలకానికి సమానం అయితే ఆ రెండు సంఖ్యలు ఒకదానికొకటి
విలోమాలు.
14. (81)1/4-8(216)1/3+15
(32)1/5+ (225 )1/2 విలువ.
ఎ. 1 బి. 0 సి. 3 డి. 2
సమాధానం: బి
వివరణ: (81)1/4-8(216)1/3+15(32)1/5 +(225 )1/2
=(34)1/4-8(63)1/3+15(25)1/5 +(152)1/2
= 3-8(6)+15(2)+15
= 3-48+30+15
= 48-48
= 0
15. ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 6.
ఆ సంఖ్యలు తారుమారు చేసిన మొదటి సంఖ్య కంటే 36 ఎక్కువ. అయిన ఆ సంఖ్య.
ఎ. 24 బి. 15 సి. 51 డి. 42
సమాధానం: బి
వివరణ: కావలసిన సంఖ్య xy అనుకొండి.
అంటే 10x+y రూపంలో ఉండును.
దత్తాంశం ప్రకారం x+y = 6 – – – -(1)
అంకెలను తారుమారు చేస్తే వచ్చే సంఖ్య 10y+x
లెక్క ప్రకారం తారుమారు చేసిన సంఖ్య మొదటి సంఖ్య కంటే 36 ఎక్కువ. అనగా
(10y+x)-(10x+y) = 36
9y-9x = 36
y-x = 4 ——(2)
సమీ. (1), (2) లను సాధించగా
x = 1, y = 5
కావలసిన సంఖ్య 15
16. రుత్విక్‌ ఒక సంఖ్యను 16 తో గుణించగా వచ్చే గుణిజం అదే సంఖ్యకు 120 కలిపితే వచ్చే విలువలకు సమానమని కనుగొనెను అయితే రుత్విక్‌ గమనించిన సంఖ్య.
ఎ. 5 బి. 6 సి. 7 డి. 8
సమాధానం: డి
వివరణ: కావలసిన సంఖ్యను a అనుకోండి.
దత్తాంశం ప్రకారం a ను 16తో గుణించగా వచ్చే గుణిజం 16a
ఈ విలువ a కు 120 కలుపగా వచ్చే విలువకు సమానమని ఇవ్వబడినది. అనగా
16a = a+120
15a = 120
a = 8
17. (25198+2129-106100+70535-164+259) సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో గల అంకె.
ఎ. 1 బి. 4 సి. 5 డి. 6
సమాధానం: బి
వివరణ: దత్తసంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో గల అంకె = 198 ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె + 129 ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె – 6100 ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె + 535 ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె – 64 ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె+9 = 1+1-6+5-6+9 = 4
18. P = 441 x 484 x 529 x 576 x 625 అయితే P కారణాంకాల సంఖ్య.?
ఎ. 607 బి. 5706
సి. 1024 డి. 6075
సమాధానం: డి
వివరణ: P = (21)2 x (22)2x
(23)2x (24)2x (25)2
= (3×7)2x (2×11)2x (23)2x (23×3)2x (52)2
= 32 x72x 22x112x 232x 26x32x 54
= 28 x 34 x 54 x 72x 112 x 232
కారణాంకాల సంఖ్య =
(8+1)(4+1)(4+1) (2+1)(2+1)(2+1)
= 9 x 5 x 5 x 3 x 3 x 3
= 6075

బీవీ రమణ
డైరెక్టర్‌, ఏకేఆర్‌ స్టడీ సర్కిల్‌,
వికారాబాద్‌