జ్యామితీయ మూలాలు అంటే తెలుసా?

రేఖాగణితం
-జ్యామితీయ లేదా రేఖాగణితాన్ని ఆంగ్లంలో జామెట్రీ అంటారు. జామెట్రీ అనే ఆంగ్ల పదం జియో, మెట్రాన్ అనే రెండు గ్రీకు పదాలనుంచి సంగ్రహించబడినది.
-జియో అంటే భూమి, మెట్రాన్ అంటే కొలవడం.
-జామెట్రీ అంటే భూమిని కొలిచే శాస్త్రం. మానవుడు భూమి ని కొలిచే అవసరాన్ని బట్టి జ్యామితీయ శాస్త్రం అభివృద్ధిచెందినట్లు అర్థం అవుతుంది.
-అనిర్వచనీయ పదాలు, నిర్వచనీయ పదాలు, స్వీకృతాలు, సిద్ధాంతాలతో కూడిన గణితశాస్త్ర విభాగాన్నే రేఖాగణితం అంటారు.
-ప్రాచీన జ్యామితీయ అవశేషాలను సింధు నాగరికత, బాబిలోనియా నాగరికత ప్రజాజీవనంలో గుర్తించవచ్చు. ఎందుకంటే వీరికి అధికకోణ త్రిభుజాల గురించి తెలుసు.
-క్రీస్తుపూర్వం 2500 ప్రాంతంలో సింధు నాగరికత ప్రజలకు రేఖాగణితం గురించి తెలుసు అనడానికి సాక్ష్యంగా హరప్పా, మొహంజోదారో తవ్వకాల్లో వృత్తాన్ని నిర్మించే సాధనం ఒకటి లభించింది.
-భక్ష్యాలి అనే రాత ప్రతిలో అనేక జ్యామితీయ సమస్యల ప్రస్తావనతోపాటు అక్రమాకార వస్తువుల ఘనపరిమాణాలకు సంబంధించిన సమస్యలు ఉన్నాయి.
-ఈజిప్టులోని పిరమిడ్‌లు, ఈఫిల్ టవర్, చైనావాల్, భారతదేశంలోని ప్రసిద్ధపురాతన దేవాలయాలు రేఖాగణిత అనువర్తనాలుగా చెప్పవచ్చు.
-క్రీ.పూ. 8వ శతాబ్దంనాటి బౌద్ధయానుడు సంకలనం చేసిన అత్యంత ప్రసిద్ధమైన బౌద్ధయాన సులభ సూత్రాలలో పైథాగరస్ త్రికములైన (3, 4, 5), (5, 12, 13) మొదలైన వాటిని, దీర్ఘచతురస్ర భుజాలు కర్ణాలను పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఆపాదించడాన్ని గమనించవచ్చు. పైథాగరస్‌ను థేల్స్ శిష్యునిగా భావిస్తారు.
-గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్త అయిన థేల్స్‌ను నిగమన నిరూపణ పద్ధతికి అధ్యక్షుడిగా భావిస్తారు.
-క్రీ.పూ. 325-265 కాలంలో ఈజిప్టులోని అలెగ్జాండ్రియాకు చెందిన యూక్లిడ్ ది ఎలిమెంట్స్ అనే గ్రంథాన్ని రాశారు. ఈ గ్రంథం 13 పుస్తకాల సంకలనం. ఇందులో ఉన్న విషయాలన్నింటి కృషి యూక్లిడ్‌తో పాటు థేల్స్, పైథాగరస్ మొదలైనవారికి కూడా చెందుతుంది.
-యూక్లిడ్‌ను రేఖాగణిత పితామహుడు అని పిలుస్తారు.
-ది ఎలిమెంట్స్ గ్రంథంలోని 1వ పుస్తకంలో యూక్లిడ్ 23 నిర్వచనాల జాబితాను పొందుపరిచాడు. అందులో కొన్ని
1. బిందువు అంటే ఎటువంటి భాగాలు లేనిది.
2. రేఖ అంటే వెడల్పులేని పొడవు.
3. ఒక రేఖ అంత్యాలు బిందువులు.
4. ఒక సరళరేఖ అంటే బిందువులను తుల్యంగా లేదా సమంగా కలిగి ఉన్న రేఖ.
5. ఒక తలం అంటే పొడవు, వెడల్పులను మాత్రమే కలిగి ఉన్నది. తలం అంచులు రేఖలు.
6. ఒక తలం అంటే హెచ్చు, తగ్గులు లేకుండా తుల్యంగా దానిపై సరళరేఖను కలిగి ఉన్నది.
-చైనాకు చెందిన మోహీ తత్వవేత్త బిందువును ఒక రేఖను విభజించుకుంటూపోతే చివరకు మిగిలిన అవిభాజ్య భాగాన్ని బిందువు అంటారు.
-ప్రకృతిలో అనిర్వచిత, నిర్వచిత అనే రెండు రకాల వస్తువులు ఉన్నాయి. అవి..
అనిర్వచిత వస్తువులు
-ఎలాంటి నిర్వచనం అవసరంలేకుండా అర్థమయ్యే భావనలు.
ఉదా: పూవు, రాయి, సూర్యుడు, బిందువు మొదలైనవి.

నిర్వచిత వస్తువులు
-అనిర్వచిత వస్తువుల అధారంగా నిర్వచింపబడేవి.
ఉదా: దండ, కొండ, రేఖాఖండం, కోణం, కిరణం, త్రిభుజం, చతుర్భుజం మొదలైనవి.

స్వీకృతాలు
-స్వయంసిద్ధ సత్యవాక్యాలను స్వీకృతాలు అంటారు. స్వీకృతాలకు నిరూపణలు ఉండవు.
-స్వీకృతాలు రేఖాగణిత నిర్మాణానికి పునాదిరాళ్లు.

సామాన్య భావన
-ఒక నిర్దేశిత గణిత వ్యవస్థలో సందర్భానుసారం స్వయంనిర్దేశిత సత్యప్రవచనాలను సామాన్య భావనలు అంటారు.
ఉదా: మొత్తం అందులోని భాగం కన్నా ఎల్లప్పుడూ పెద్దదే.
-సామాన్య భావన అనే పదాన్ని యూక్లిడ్ జ్యామితీయలోనే కాక మొత్తం గణితంలో ఉపయోగించాడు. కానీ స్వీకృతం అనే పదాన్ని జ్యామితీయకి మాత్రమే పరిచయం చేశాడు.
-ప్రస్తుతం ఈ భావనలను స్వీకృతాలుగానే స్వీకరిస్తున్నారు.

యూక్లిడ్ సామాన్య భావనలు
-ఒకే రాశి సమానమైన రాశులు ఒకదానికొకటి సమానాలు.
-ఒక దానితో ఒకటి ఏకీభవించే వస్తువులు పరస్పరం సమానం.
-సమాన రాశుల్లో సగాలు సమానం.

యూక్లిడ్ మొదటి ఐదు స్వీకృతాలు
1. ఒక బిందువు నుంచి మరొక బిందువుకు ఒక సరళరేఖ గీయవచ్చు.
2. సరళరేఖను అవిచ్ఛిన్నంగా పొడిగించవచ్చు.
3. ఒక బిందువు కేంద్రంగా స్థిర వ్యాసార్థంతో ఒకే ఒక వృత్తం గీయవచ్చు.
4. అన్ని లంబకోణాలు సమానం.
5. దత్త సరళరేఖలో లేనట్టి ఒక బిందువుగుండా ఆ సరళరేఖకు ఒకే ఒక సమాంతర రేఖ గీయవచ్చు.

యూక్లిడ్ సమాంతర స్వీకృతం
-దత్త సరళరేఖపై లేనటువంటి ఒక బిందువుగుండా దానికి ఒకే ఒక సమాంతర రేఖను గీయవచ్చు.
-యూక్లిడ్ సమాంతర స్వీకృతాన్ని జాన్ ప్లే ఫెయిర్ కూడా తెలిపాడు. కాబట్టి ప్లే ఫెయిర్ స్వీకృతం అనికూడా అంటారు.

త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది. ఇది రెండు లంబకోణాలకు సమానం – లెజెండర్
రెండు రేఖల మధ్య దూరం సమానంగా ఉండేటట్లు అవి తలం అంతటా విస్తరిస్తాయి – ప్లాసిడోమినస్
ఒక జత సమాంతర రేఖలలో ఒకదానిని ఏదైనా సరళరేఖ ఖండించిన, అది సమాంతర రేఖలలో రెండవదానిని కూడా ఖండిస్తుంది – ప్రోక్లస్
నాలుగు లేదా అంతకన్న పెద్దదైన ప్రతి సరిసంఖ్యను కూడా రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తంగా రాయవచ్చు – గోల్డ్‌బ్యాక్

యూక్లిడ్ సిద్ధాంతాల్లో కొన్ని
1. A, B, Cలు ఒకే సరళరేఖపై గల బిందువులు.
B A, Cల మధ్య ఉంటే AC-AB=BC అవుతుంది.
2. ఇచ్చిన ఏ రేఖాఖండంపై అయిన సమబాహు త్రిభుజాన్ని నిర్మించవచ్చు.
3. రెండు వేర్వేరు రేఖలు ఒకటి కన్నా ఎక్కువ సంఖ్యలో ఉమ్మడి బిందువులను కలిగి ఉండవు. ఈ ధర్మం సరళరేఖలకు మాత్రమే.
-యూక్లిడ్ ఐదవ స్వీకృతం బదులు వేరే స్వీకృతాలు ప్రతిక్షేపిస్తే అది యూక్లిడేతర జ్యామితీయ. ఈ భావనను గ్రహించిన వారు కార్ల్ ఫెడ్రిక్ గాస్, బాల.

సిద్ధాంతం
-నిరూపణలను కలిగినది.
-స్వీకృతానికి నిరూపణ రాస్తే అది సిద్ధాంతంగా రూపాంతరం చెందుతుంది.
-సిద్ధాంతంలోని ముఖ్యమైన ఘట్టాలు.

1. సామాన్య వివరణ
2. పటం
-దత్తాంశ సమాచారాన్ని ఉపయోగించి నిర్మించిన పటాన్ని చిత్తు పటం అంటారు.
3. దత్తాంశం

సిద్ధాంత నిరూపణకు ఇవ్వబడిన సమాచారాన్ని దత్తాంశం అంటారు.
4. సారాంశం
5. నిర్మాణం
-చిత్తు పటంలోని అంశాలు సిద్ధాంత నిరూపణకు సరిపోక పోయిన అవసరార్థం రేఖలను, కోణాలను అదనంగా చేయడాన్నే నిర్మాణం అంటారు.

6. ఉపపత్తి
-నిరూపించాల్సిన విషయాన్ని ఉపపత్తి అంటారు.
-సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడానికి ప్రపంచవ్యాప్తంగా ఎన్నో పద్ధతులు ఉన్నప్పటికీ అందరూ అనుసరిస్తున్న పద్ధతులు..

ప్రత్యక్ష నిరూపణ పద్ధతి
-ఇచ్చిన దత్తాంశ సమాచారాన్ని వినియోగించుకుని ఉపపత్తిలోని అంశాన్ని నిరూపించడాన్ని ప్రత్యక్ష నిరూపణ పద్ధ తి అంటారు. దత్తాంశం నుంచి సారాంశాన్ని నిరూపిస్తాం.
ఉదా: ఒక బేసి సంఖ్య వర్గం కూడా బేసిసంఖ్య అవుతుంది.
దత్తాంశం: బేసి సంఖ్య సాధారణ రూపం 2n+1
ఉపపత్తి: (2n+1)2 కూడా బేసి సంఖ్య.
నిరూపణ: (2n+1)2 =4n2+4n+1
=2(2n2+2n)+1 = 2k+1
2k+1 కూడా బేసి సంఖ్య అవుతుంది.

పరోక్ష నిరూపణ పద్ధతి
-సారాంశాన్ని తప్పు అనుకోవడం ద్వారా ఉపపత్తిలో దత్తాంశానికి విరుద్ధమైన అంశం వస్తుంది. తద్వారా సారాంశమే నిజమని నిరూపిస్తాం.
ఉదా: ఒక జత ఏకాంతర కోణాలు సమానమైతే ఆ సరళరేఖలు సమాంతరాలు.

ప్రత్యుదాహరణ పద్ధతి
-ఇచ్చిన అసత్య ప్రవచనం అసత్యం అని చెప్పి ఒక ఉదాహరణతో సమర్థించడం.
ఉదా-1:
-3తో భాగించబడే సంఖ్యలన్ని 9 చే భాగించబడతాయి.
-అసత్యం ఎందుకంటే 12, 3తో భాగించబడుతుంది. కానీ 9తో భాగించబడదు.
ఉదా-2:
-ప్రధాన సంఖ్యలన్ని బేసి సంఖ్యలే.
-2 ప్రధాన సంఖ్య, కాని బేసి సంఖ్యకాదు.

లంబదూర సిద్ధాంతం
-దత్త సరళరేఖపై లేనట్టి ఒక బిందువుగుండా దానికి గీయబడే రేఖలన్నింటిలో లంబదూరం మిక్కిలి చిన్నది.

జ్యామితీయ పెట్టె
-జ్యామితీయ పెట్టెలోని వివిధ పరికరాలు వాటి ఉపయోగాలు.

స్కేలు
-రేఖాఖండాలను కొలువడానికి, నిర్మించడానికి
-కోణమానిని: కోణాలను కొలువడానికి, నిర్మించడానికి
-కోణమానిపై 180 సమభాగాలు గుర్తించి ఉంటాయి. ఒక్కొక్క భాగం ఒక్కొక్క డిగ్రీకి సమానం. మనం కొలిచే కోణాలు కుడి లేదా ఎడముఖం కలిగి ఉంటాయి. అందువల్ల కోణమానినిపై కుడి నుంచి ఎడమకు 0-180 డిగ్రీలు ఎడమ నుంచి కుడికి 0-180 డిగ్రీలు గుర్తించి ఉంటాయి.
-మూలమట్టాలు: సమాంతర, లంబరేఖలు నిర్మించడం.
-విభాగిణి: రేఖాఖండాలను కొలువడానికి, నిర్మించడానికి, విభాగిణి ఉపయోగించడం వల్ల స్కేలుతో వచ్చే పారలాక్స్ దోషాన్ని నివారించవచ్చు.
-వృత్తలేఖిని: వృత్తాలు, వృత్తఖండాలు నిర్మించడం.
-అంతరాళం: భూమి, ఆకాశాల మధ్యభాగం, అంతరాళంలోని వస్తువులకు పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తు ఉంటాయి.

రేఖాగణితం-భారతీయ శాస్త్రవేత్తల కృషి
-వేద కాలంలో భారతదేశంలో రేఖాగణితం యజ్ఞయాగాదులకు ఉపయోగించారు. క్రీ.పూ. 3000 నుంచి అధ్యయన యోగ్యమైన శాస్త్రంగా రేఖాగణితం పరిగణను పొందింది.
-వేదాంగాలలో ఒక భాగం కల్పం. ఈ సూత్రాలను కల్ప సూత్రాలు అంటారు.
-బౌద్ధయాన, అపస్తంభ, కాత్యాయన మొదలైన ప్రాచీన భారతీయ శాస్త్రవేత్తలు సులభసూత్రాల కర్తలుగా ప్రసిద్ధిచెందారు. సులభసూత్రాలు అంటే యజ్ఞవాటికలు, దేవాలయాలు నిర్మించడానికి అవసరమైన రేఖాగణిత శ్లోకాలు.
-బౌద్ధయానుడు తన బౌద్ధయాన సులభసూత్రాల్లో పైథాగరస్ త్రికముల గురించి చర్చించారు.
-పైథాగరస్ కంటే ముందే బౌద్ధయానుడు పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని చెప్పినప్పటికీ దానికి లాక్షణికమైన ఉపపత్తి ఇవ్వకపోవడంతో ఆ కీర్తి పైథాగరస్‌కు దక్కింది. పైథాగరస్ సిద్ధాంతానికి క్రీ.శ. 1150లో భాస్కరాచార్య-2 లాక్షణిక ఉపపత్తి ఇచ్చాడు. ఈయన భారతదేశంలో లంబకోణ సిద్ధాంతానికి కూడా లాక్షణిక ఉపపత్తి ఇచ్చాడు.
-ఆర్యభట్టు, బ్రహ్మగుప్తుడు, మహావీర, శ్రీధరాచార్యుడు, నారాయణ పండితుడు, మునీశ్వరుడు, భాస్కరాచార్య-2 మొదలైన భారతీయులు రేఖాగణిత అభివృద్ధికి కృషిచేశారు.