పైథాగరస్ త్రికమును ఉపయోగించిన శాస్త్రవేత్త ఎవరు?
జ్యామితీయ మూలాలు
రేఖాగణితాన్ని ఆంగ్లంలో జామెట్రి అంటారు. జ్యామెట్రి అనే పదం గ్రీకు పదాలు జియో, మెట్రియన్ అనే పదాల నుంచి ఏర్పడింది . జియో అంటే భూమి, మెట్రియన్ అంటే కొలవటం అని అర్థం. ఈజిప్ట్లోని పిరమిడ్లు, చైనా కుడ్యం, భారతదేశంలోని ఆలయాలు, యజ్ఞవాటికలు, ఫ్రాన్స్లోని ఈఫిల్ టవర్ వంటి ప్రసిద్ధ కట్టడాలు జ్యామితీయ అనువర్తనాలకు ఉదాహరణలు. జ్యామితీయ సూత్రాలను అర్థం చేసుకోవడానికి జ్యామితి ప్రాథమిక భావనలను, వాటి అనువర్తనాలను తెలుసుకోవాలి.
- ‘భక్ష్యాలి’ అనే రాత ప్రతిలో జ్యామితి సమస్యతో పాటు అక్రమాకార వస్తువుల ఘనపరిమాణాల గురించి చెప్పారు.
- వైదిక సంస్కృతిలో సులభ సూత్రాల్లో యజ్ఞవాటికలు, హోమగుండాలు నిర్మించడంలో ఉండే జ్యామితీయ సూత్రాలు పొందుపరిచారు.
- సింధూ నాగరికత ప్రజలకు, బాబిలోనియా నాగరికత ప్రజలకు అధిక కోణ త్రిభుజాల గురించి తెలుసు.
- క్రీస్తుపూర్వం 2500 ప్రాంతంలో సింధూ నాగరికత ప్రజలకు రేఖా గణితం గురించి తెలుసు అనటానికి
- సాక్ష్యంగా హరప్పా, మొహంజోదారో తవ్వకాల్లో వృత్తాన్ని నిర్మించే సాధనమొకటి లభించింది.
- గ్రీకులు శాస్ర్తాలన్నింటిలో రేఖాగణితాన్ని ఉన్నతమైందిగా భావిస్తారు.
- గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్త ‘థేల్స్’ను నిగమన- నిరూపణ పద్ధతికి ఆధ్యుడుగా భావిస్తారు.
- బౌద్ధాయన సులభ సూత్రాల్లో పైథాగరస్ త్రికాల గురించి చర్చించారు.
రేఖా గణితం – చారిత్రకాంశాలు
– యూక్లిడ్ (క్రీ.పూ. 300 సంవత్సరాలు)
రేఖాగణిత పితామహుడు – యూక్లిడ్.
రేఖాగణిత ప్రయోగాత్మక పద్ధతిని రూపొందించిన మొదటి శాస్త్రవేత్త- యూక్లిడ్
‘The Elements’ అనే గ్రంథాన్ని రచించిన శాస్త్రవేత్త – యూక్లిడ్.
రేఖాగణిత సంబంధాలన్నింటిని 13 భాగాలుగా ఒక తార్కిక క్రమపద్ధతిలో అమర్చిన గ్రంథం – The Elements
యూక్లిడ్ ఉత్పాదనలు అన్నీ ‘5’ స్వీకృతాలపై ఆధారపడి ఉన్నాయి.
యూక్లిడియన్ – రేఖాగణిత నిర్మాణానికి ఈ మూల స్తంభమనే స్వీకృతాన్ని ‘సమాంతర స్వీకృతం’ అంటారు.
యూక్లిడ్ గ్రంథంలో అతనికి పూర్వీకులైన థేల్స్, పైథాగరస్, ప్లేటోల కృషి కూడా ఇమిడి ఉంది.
క్రీ.పూ. 300లలో గ్రీస్ దేశానికి చెందిన యూక్లిడ్ అనిర్వచిత, నిర్వచిత పదాలు, స్వీకృతాలు, సిద్ధాంతాలు, ఇతర నిర్వచనాలు వివరించారు.
అనిర్వచిత పదాలు
ఎలాంటి నిర్వచనం లేకుండా అర్థమయ్యే భావనలు.
ఉదా. పూవు, రాయి, సూర్యుడు, బిందువు
నిర్వచిత పదాలు
అనిర్వచిత వస్తువుల ఆధారంగా నిర్వచించేవి.
ఉదా. దండ, కొండ, రేఖాఖండం
స్వీకృతాలు
సత్య, అసత్య ప్రవచనాలు లేదా నిరూపణ లేనివి
యూక్లిడ్ స్వీకృతాలు
జ్యామితిలో స్వయం నిర్దేశిత సత్య ప్రవచనాలను స్వీకృతాలు అంటారు.
1) రెండు వేర్వేరు బిందువులు నుంచి ఒకేఒక సరళరేఖ వెళ్తుంది.
2) ఒక పరిమిత రేఖను నిరంతరంగా పొడిగించవచ్చు.
3) ఇచ్చిన వ్యాసార్థం, కేంద్రాలతో ఒక- వృత్తాన్ని గీయవచ్చు.
4) లంబకోణాలన్ని ఒక దానితో మరొకటి సమానం.
5) రెండు సరళరేఖలను ఒక రేఖ ఖండిస్తే ఒకే వైపునున్న అంతర కోణాల మొత్తం 1800 కంటే తక్కువైతే ఆ సరళ రేఖలు రెండు అదే వైపు కలుసుకుంటాయి.
యూక్లిడ్ సమాంతర స్వీకృతం
దత్త సరళరేఖపై లేనటువంటి ఒక బిందువు నుంచి దానికి ఒకేఒక సమాంతర రేఖను గీయవచ్చు.
ప్లేఫెయిర్ స్వీకృతం
ఒక సరళరేఖకు దానిపై లేనటువంటి ఏదైనా బిందువు నుంచి ఒకేఒక సమాంతర రేఖను గీయవచ్చు. ‘l’ అనేది ఒక సరళరేఖ, ‘p’ అనేది ‘l’ పైలేనటువంటి ఏదైనా ఒక బిందువు. అయితే ‘l’ కు సమాంతరంగా ద్వారా పోయే ఒకే ఒక సరళరేఖ వ్యవస్థితమవుతుంది.
లెజెండర్ స్వీకృతం
ఒక త్రిభుజం కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది. ఇది రెండు లంబకోణాలకు సమానం.
1+ 2+ 3 = 1800
పొసిడోమిస్ స్వీకృతం
రెండు రేఖలు వాటి మధ్య దూరం సమానంగా ఉండేలా అంతటా వ్యవస్థితమవుతాయి.
ప్రోక్లస్ స్వీకృతం
ఒక జత సమాంతర రేఖల్లో ఒక దాన్ని ఏదైనా సరళరేఖ ఖండిస్తే, అది సమాంతర రేఖల్లో రెండవ దాన్ని కూడా ఖండిస్తుంది.
రెండు రేఖలు ఒకే రేఖకు సమాంతరమైన అవి ఒకదానికి మరొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి.
పరికల్పనలు
సత్యమని కాని అసత్యమని కాని నిరూపించని ప్రవచనాలను పరికల్పనలు అంటారు.
గోల్డ్ బ్యాక్ పరికల్పన
నాలుగు లేక అంతకన్నా పెద్దదైన ప్రతి సరిసంఖ్యకు కూడా రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తంగా రాయవచ్చు.
సత్యమని నిరూపించిన పరికల్పనలు సిద్ధాంతాలు అంటారు.
సిద్ధాంతాలు
- మనం అంగీకరించిన స్వీకృతాల సాయంతోను లేక ఇదివరకే రుజువు చేసిన సిద్ధాంతాల సాయంతో రుజువైనప్పుడు మాత్రమే సత్యాలుగా అంగీకరించే వివరణను సిద్ధాంతం అంటారు.
- ప్రతి సిద్ధాంతంలో రెండు భాగాలుంటాయి. మొదటి భాగం ‘అయితే’ అనే భాగం వరకు దత్తాంశం లేక పరికల్పన అంటారు.
- రెండవ భాగం ‘అప్పుడు’ అనే భాగం సారాంశం లేదా పర్యవసానాన్ని తెలియజేస్తుంది.
ఉదా: సిద్ధాంతం- ఒక త్రిభుజంలో రెండు భుజా లు సమానమైతే వానికెదురుగానుండు కోణా లు సమానం. - దత్తాంశం: ఒక త్రిభుజంలో రెండు భుజాలు సమానం.
- సారాంశం: వానికెదురుగా నుండు కోణాలు సమానం. (నిరూపించవలసిన అంశం)
- (p అయితే qలో pని దత్తాంశమని, qని సారాంశం అంటారు.)
సిద్ధాంత రచనా విధానంలోని ఘట్టాలు
1. సామాన్య వివరణ: ఇది సిద్ధాంత ప్రతిపాదన
2. పటం: సామాన్య వివరణ ఆధారంగా పటం గీసి పేర్లు పెట్టాలి.
3. దత్తాంశం: సిద్ధాంతంలో ఇచ్చిన షరతులు, పటము ద్వారా పేర్కొన్నవి.
4. సారాంశం: నిరూపించాల్సిన అంశం
5. నిర్మాణం: కొన్ని సిద్ధాంతాల్లో సామాన్య వివరణ, పటం నిరూపణా విధానానికి సరిపోకపోవచ్చు. అప్పుడు అదనంగా కొన్ని రేఖలు, కోణాలు, మొదలైనవి చేర్చాల్సివస్తుంది. ఇలా నిర్మించిన అదనపు వివరాలను నిర్మాణాలు అంటారు. కొన్ని సిద్ధాంతాలకు నిర్మాణ భాగం ఉండకపోవచ్చు.
6. ఉపపత్తి : నిరూపించాల్సిన అంశాన్ని దృష్టిలో ఉంచుకొని(సారాశం) అవసరమైన, తార్కిక సోపానాలు నిర్మిస్తారు. ఈ సోపానాల వరుస, దత్తాంశంతో ప్రారంభించి స్వీకృతం ద్వారా కాని, నిర్వచనం ద్వారా కాని, ఇదివరకే నిరూపించిన సిద్ధాంతం ద్వారా కాని సమర్థించాలి. పరిశీలన ద్వారా సమర్థించకూడదు.
7. నిరూపణ పద్ధతులు
సత్య నిరూపణలు
1) ప్రత్యక్ష నిరూపణ పద్ధతి
2) పరోక్ష నిరూపణ పద్ధతి
అసత్య నిరూపణలు
3) ప్రత్యుదాహరణ పద్ధతి
1) ప్రత్యక్ష నిరూపణ పద్ధతి-
దత్తాంశం నుంచి సారాంశాన్ని నిరూపిస్తాం.
ఉదా: x సరిసంఖ్య అయితే x2 సరిసంఖ్య
2) పరోక్ష నిరూపణ పద్ధతి –
సారాంశాన్ని తప్పు అనుకోవడం ద్వారా ఉపపత్తిలో దత్తాంశానికి విరుద్ధమైన అంశం వస్తుంది. తద్వారా సారాంశమే నిజమని నిరూపిస్తాం.
ఉదా: ఒక జత ఏకాంతర కోణాలు సమానం అయితే ఆ సరళరేఖలు సమాంతరాలు.
ప్రత్యుదాహరణ పద్ధతి-
ఇచ్చిన అసత్య ప్రవచనం అసత్యమని చెప్పి ఒక ఉదాహరణలో సమర్థించడం.
ఉదా: 3తో భాగించే సంఖ్యలన్నీ 9తో భాగిస్తారు.
భారతీయుల కృషి
భారతదేశంలో రేఖాగణితం, ఖగోళశాస్త్రంతో కలిసి అభివృద్ధి చెందింది.
బౌద్ధాయనం, కాత్యాయన, ఆపస్తంభ మొదలగు వారు వేదకాలంలో భారతదేశంలో సులభ సూత్రకర్తలుగా ప్రసిద్ధికెక్కారు.
సులభ సూత్రాలు
అంటే యజ్ఞ వాటికలు, దేవాలయాలు నిర్మించడానికి అవసరమైన రేఖాగణిత శ్లోకాలు.
1. ఆర్యభట్ట- (క్రీ.శ. 499)
ఆర్యభట్టీయం అనే గ్రంథాన్ని రచించారు.
విలువను నాలుగు దశాంశ స్థానాలకు లెక్కించిన మొదటి భారతీయుడు.
2. పైథాగరస్- (క్రీ.శ. 500-580) లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం వర్గం మిగిలిన భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానం.
3. మహావీరాచార్యుడు : క్రీ.శ. 850 ప్రాంతం
4. శ్రీధరాచార్యుడు : క్రీ.శ. 900 ప్రాంతం
5. నారాయణ పండితుడు : క్రీ.పూ. 1356 ప్రాంతం
6. మునీశ్వరుడు : క్రీ.శ. 1603
7. మన ప్రాచీన జామితిలో లోపించింది – ‘గణిత లాకణికత’.
ప్రాక్టీస్ బిట్స్
1. ‘యూక్లిడ్ ఎలిమెంట్స్’ అనే గ్రంథంలో ఎన్ని పుస్తకాలు ఉన్నాయి?
1) 13 పుస్తకాలు ఉన్నాయి
2) 15 పుస్తకాలు ఉన్నాయి
3) 17 పుస్తకాలు ఉన్నాయి
4) ఏదీకాదు
2. కింది వాటిలో అనిర్వచిత పదం
1) బిందువు 2) లంబకేంద్రం
3) త్రిభుజం 4) వృత్తం
3. ఉపపత్తిలోని ప్రతి సోపానాన్ని దేని ద్వారా సమర్థించాలి?
1) స్వీకృతం 2) నిర్వచనం
3) నిరూపించిన సిద్ధాంతం 4) పైవన్నీ
4. సిద్ధాంతాలకు మరో పేరు
1) ప్రకృతి న్యాయాలు 2) పరిశీలన
3) స్ఫూర్తి 4) స్వీకృతం
5. రేఖాగణిత రచనా విధానానికి ముఖ్యమైనది
1) ప్రకృతి 2) దత్తాంశం
3) సారాంశం 4) నిర్మాణం
6. దేనియందు ప్రాణమున్న, ప్రాణంలేని వస్తువులున్నాయి?
1) ప్రకృతి 2) దత్తాంశం
3) సారాంశం 4) నిర్మాణం
7. సారాంశంలోని అంశానికి వ్యతిరేకంగా భావించి ప్రారంభించి సోపానాలు రాసే నిరూపణ పద్ధతి
1) ప్రత్యక్ష పద్ధతి 2) పరోక్ష పద్ధతి
3) ప్రత్యుదాహరణ 4) పైవన్నీ
8. సిద్ధాంత రచనా విధానంలోని ఏ ఘట్టం ప్రతి సిద్ధాంతానికి అవసరం ఉండకపోవచ్చు?
1) నిర్మాణం 2) దత్తాంశం
3) సారాంశం 4) అన్నీ
9. ఒక దత్త రేఖలో లేని దత్త బిందువు నుంచి ఆ రేఖకు ఎన్ని సమాంతర రేఖలను గీయగలం?
1) 4 2) అనంతం
3) 2 4) 1
10. రేఖాగణిత సులభ సూత్రాల కర్తగా ప్రసిద్ధికెక్కిన వారెవరు?
1) బౌద్ధ్దాయన 2) ఆపస్తంభ
3) కాత్యాయన 4) అందరూ
11. పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని మొదట ప్రతిపాదించిన భారతీయ శాస్త్రవేత్త
1) భాస్కరాచార్య-II
2) వరాహమిహిర
3) ఆర్యభట్ట 4) యూక్లిడ్
12. నాలుగు లేక అంతకన్నా పెద్దదైన ప్రతిసరిసంఖ్యను రెండు ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దంగా రాయవచ్చు. దీనిని ఏమంటారు?
1) గోల్డ్ బ్యాక్ పరికల్పన 2) దత్తాంశం 3) సారాంశం 4) యూక్లిడ్
13. పైథాగరస్ త్రికమును ఉపయోగించిన శాస్త్రవేత్త ?
1) బౌద్ధాయన 2) భాస్కరాచార్య
3) రామానుజన్ 4) ఆర్యభట్ట
14. యూక్లిడ్ భావనలో బిందువు, రేఖ, తలము అనేవి ఏ పదాలు?
1) నిర్వచిత 2) అనిర్వచిత
3) సారాంశం 4) చెప్పలేము
15. ఒక త్రిభుజం కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది. అది రెండు లంబకోణాలకు సమానం. దీనిని ఏవిధమైన స్వీకృతం అంటారు?
1) ప్రోక్లస్ 2) లెజెండర్
3) ప్లేఫెయిర్ 4) గోల్డ్ బ్యాక్
16. రేఖాఖండం అనేది ఏ పదం?
1) నిర్వచిత 2) అనిర్వచిత
3) స్వీకృతం 4) అన్నీ
17. స్వయం సిద్ధమైనది కాని, సత్యాలుగా గ్రహించి ఏర్పర్చుకున్న ప్రవచనాలను ఏమంటారు?
1) దత్తాంశం 2) సారాంశం
3) స్వీకృతాలు 4) అన్నీ
18. అనిర్వచిత లేక నిర్వచిత పదాలు, స్వీకృతాల సాయంతో మనం పొందుపరిచే నూతన సంబంధాలను ఏమంటారు?
1) స్వీకృతాలు 2) సిద్ధాంతాలు
3) నిర్వచిత పదాలు
4) అనిర్వచిత పదాలు
19. సిద్ధాంత రచనా విధానంలో ఘట్టాలు?
1) పటం 2) దత్తాంశం
3) సారాంశం 4) పైవన్నీ
20. కింది వారిలో భారతీయ శాస్త్రవేత్త కానివారు ఎవరు?
1) మునీశ్వరుడు 2) భాస్కరుడు
3) పైథాగరస్ 4)బౌద్ధాయన
21. అసత్యమయే వాక్యాన్ని ఏమంటారు?
1) స్వీకృతం 2) సిద్ధాంతం
3) విరుద్ధత 4) పైవన్నీ
22. ఒక సరళరేఖ దానిపై లేనటువంటి ఏదైనా బిందువు నుంచి ఒకేఒక సమాంతర రేఖను గీయగలం. దీనిని ఏ విధమైన స్వీకృతం అంటారు?
1) యూక్లిడ్ 2) ప్లేఫెయిర్
3) లెజెండర్ 4) ఏదీ కాదు
23. ఒక జత సమాంతర రేఖల్లో ఒక దాన్ని ఏదైనా సరళరేఖ ఖండిస్తే, అది సమాంతర రేఖల్లో రెండో దాన్ని కూడా ఖండిస్తుంది. దీనిని ఏ విధమైన స్వీకృతం అంటారు?
1) లెజెండర్ 2) ప్లేఫెయిర్
3) ప్రోక్లస్ 4) ఏదీకాదు
సమాధానాలు
1-1 2-1 3-4 4-1 5-1 6-1 7-2 8-1 9-4 10-4 11-1 12-1 13-1 14-2 15-2 16-1 17-3 18-2 19-4 20-3 21-3 22-2 23-3
