12 గంటల కాలంలో రెండు ముళ్ల మధ్య లంబం?

-కాలాన్ని కొలుచుటకు లేదా తెలుసుకొనుటకు ఉపయోగించే పరికరాన్ని గడియారం అంటారు.
-గడియారం అనేది ఆవర్తన సూత్రంపై ఆధారపడి పనిచేస్తుంది.
-గడియారంలోని మొత్తం భాగాల సంఖ్య 211.
-లోలకాన్ని కనుగొన్నది గెలీలియో.
-గడియారంలోని లోలకం పొడవు 100 సెం.మీ.
-గడియారంలోని లోలకం అటు, ఇటు తిరుగుటనే డోలనావర్తన కాలం అంటారు.
-ఈ డోలనావర్తన కాలం విలువ 2 సెకన్లు అయితే దాన్ని సెకన్ల లోలకం లేదా సామాన్య లోలకం అంటారు.
-లోలకంలో ఒక కంపనానికి పట్టేకాలం ఒక సెకన్.
-గడియారంతో కాలాన్ని గంటలు, నిమిషాలు, సెకన్లలో తెలుసుకోవచ్చు.
-గడియారంలోని ముఖ్యమైన భాగాలు
1. డయల్
2. గంటల ముల్లు
3. నిమిషాల ముల్లు
4. సెకన్ల ముల్లు

డయల్
-డయల్ అనేది ఒక గడియారం బాహ్యభాగం. దీని లోపల ఒక వృత్తాకరపు లోహపు పలకపై 1 నుంచి 12 వరకు గల అంకెలు సమానదూరాల్లో ఉంటాయి. ఒక్కొక్క అంకె ఒక్కొక్క గంటను సూచిస్తుంది. మొత్తం మీద గడియారం 12 గంటలను సూచిస్తుంది. ఒక పూర్తిరోజు (24 గంటలు) గడువాలంటే గంటల ముల్లు రెండు పూర్తి భ్రమణాలు పూర్తిచేయాలి.
-గడియారంలోని ముళ్ల చలనాన్ని కోణాల్లో తీసుకున్నట్లయితే ప్రతిముల్లు ఒక పూర్తి భ్రమణానికి 360 డిగ్రీల కోణం చేస్తుంది.
-గడియారంలోని 12 గంటల మధ్యదూరాన్ని కోణాల్లో తెలియజేసినపుడు రెండు పక్కపక్క అంకెల మధ్యదూరం 360/12 = 30 డిగ్రీలకు సమానం.

గంటల ముల్లు (చిన్న ముల్లు)
-ఒక గడియారంలో గంటల ముల్లు అన్ని ముల్లుల కంటె చిన్నది.
-చిన్న ముల్లు ఒక పూర్తి భ్రమణం చేయడానికి పట్టేకాలం – 12 గంటలు.
-అంటే 12 గంటల్లో చిన్న ముల్లు చేసే కోణం – 3600
-ఒక గంటలో చిన్న ముల్లు చేసే కోణం – 360/12 = 300
-60 నిమిషాల్లో చిన్న ముల్లు చేసే కోణం – 300
-ఒక నిమిషంలో చిన్న ముల్లు చేసే కోణం – 30/60 = 1/2 డిగ్రీలు.
-60 సెకన్లలో చిన్న ముల్లు చేసే కోణం – 1/2 డిగ్రీలు
-1 సెకన్‌లో చిన్న ముల్లు చేసే కోణం – 1/120 డిగ్రీలు

పెద్దముల్లు (నిమిషాల ముల్లు)
-ఒక గడియారంలో నిమిషాల ముల్లు గంటల ముల్లు కంటె పెద్దది, సెకన్ల ముల్లు కంటె చిన్నది.
-నిమిషాల ముల్లు ఒక పూర్తి భ్రమణం చేయడానికి పట్టుకాలం = ఒక గంట లేదా 60 నిమిషాలు.
-అంటే నిమిషాల ముల్లు 60 నిమిషాల్లో చేసే కోణం – 3600
-ఒక నిమిషంలో పెద్దముల్లు చేసే కోణం – 360/60 = 60
-నిమిషాల ముల్లు ఒక నిమిషంలో చేసే కోణం – 60
-అంటే నిమిషాల ముల్లు 60 సెకన్లలో చేసే కోణం – 60
-నిమిషాల ముల్లు ఒక సెకన్‌లో చేసే కోణం – 6/60 = 1/10 డిగ్రీలు.

సెకన్ల ముల్లు
-ఒక గడియాంలో అన్ని ముళ్లలోకి పొడవైనది సెకన్ల ముల్లు.
-అంతేగాక గంటల ముల్లు, నిమిషాల ముల్లు కంటే సెకన్ల ముల్లు వేగంగా కదులుతుంది.
-సెకన్ల ముల్లు ఒక పూర్తి భ్రమణం చేయడానికి ఒక నిమిషం పడుతుంది.
-అంటే 60 సెకన్లు పూర్తి చేయడానికి 360 డిగ్రీల కోణం చేస్తుంది.
-ఒక సెకనుకు 6 డిగ్రీల కోణం చేస్తుంది.
-సెకన్ల ముల్లు వేగం = 360 డిగ్రీలు/ నిమిషం = 6 డిగ్రీలు/సెకన్

గమనిక-1
-గడియారంలో పెద్ద, చిన్న ముల్లుల నిష్పత్తి..
= 6 : 1/2
= 12 : 1
= 360 : 30
-గడియారంలో పెద్ద, చిన్న ముల్లుల సాపేక్ష వేగం/ఉమ్మడి వేగం = 6 -1/2 = 11/2 డిగ్రీలు = 51/2 డిగ్రీలు.

గమనిక-2
-గడియారంలో ఒంటి గంట సమయంలో రెండు ముళ్ల మధ్య కోణం – 30 డిగ్రీలు.
-గడియారంలో రెండు గంటల సమయమప్పుడు రెండు ముళ్ల మధ్య కోణం – 2 (30) = 60 డిగ్రీలు.
-గడియారంలో నాలుగు గంటల సమయమప్పుడు రెండు ముళ్ల మధ్యకోణం = 4(30) = 120 డిగ్రీలు
-గడియారంలో ఐదు గంటల సమయమప్పుడు రెండు ముళ్ల మధ్య కోణం = 5(30) = 150 డిగ్రీలు
-గడియారంలో ఎనిమిది గంటల సమయమప్పుడు రెండు ముళ్ల మధ్య కోణం = 8(30) = 240 డిగ్రీలు
-గంటల ముల్లు, నిమిషాల ముల్లుల మధ్య కోణం = 30h-(11/2)m లేదా (11/2)m-30h
-ఇక్కడ అంటే పరమమూల్యం విలువ అని అర్థం. ఈ రెండు గీతల మధ్య ఉన్న విలువను ఎల్లప్పుడు ధనాత్మకంగా తీసుకోవాలి.

మోడల్-1
సమయం ఇచ్చినప్పుడు రెండు ముల్లుల మధ్యకోణం కనుగొనుట
ఉదా-1: గడియారంలో సమయం 2 గంటల 30 నిమిషాలప్పుడు రెండు ముళ్ల మధ్య కోణం ఎంత?
ఎ. 1650 బి. 1050
సి. 1110 డి. 1100
-సమాధానం-బి

వివరణ
-కోణం = 30h-(11/2)m
-ఇక్కడ h = 2, m = 30 ప్రతిక్షేపించగా = 30(2)-(11/2)(30) = 1050

షార్ట్‌కట్
-గంటల సంఖ్యను 30తో గుణించి, నిమిషాల సంఖ్య సగం చేసి వాటిని కలపాలి. నిమిషాల సంఖ్యను ఆరుతో గుణించి రెండింటిని తీసివేయాలి.
-కోణం = (2(30)+(30/2))-30(6)
= 75-180
= 105 (రుణ గుర్తును విస్మరించాలి)

ఉదా-2: ఒక గడియారంలో సమయం 7 గంటల 30 నిమిషాలు అయినప్పుడు రెండు ముళ్ల మధ్య కోణం ఎంత?
ఎ. 450 బి. 471/20
సి. 581/20 డి. 600
-సమాధానం-ఎ

వివరణ
(210 + 15)-180 = 450

మోడల్-2
గడియారంలోని రెండు వరుస గంటల మధ్య ముళ్లు ఏకీభవించునప్పుడు సమయాన్ని కనుగొనుట
-ఒక గడియారంలోని గంటల ముల్లు, నిమిషాల ముల్లు ఒకదానిపై మరొకటి చేరి రెండు ఒకే దిశను చూపించిన ఆ స్థితిని ఈక్వినాక్టికల్ స్థితి అంటారు. దీనినే ముల్లు ఏకీభవించు స్థితి అంటారు.
-ఒక గడియారంలోని గంటల ముల్లు, నిమిషాల ముల్లు ప్రతి గంటకు ఒకేసారి ఒకే దిశలో ఏకీభవిస్తాయి. కానీ 11 -12 గంటల మధ్య, 12 – ఒంటి గంటల మధ్య ఈ స్థితి రాదు. కచ్చితంగా 12 గంటలకు రెండు ముళ్లు ఏకీభవిస్తాయి.
-అంటే 12 గంటల కాలంలో 11 సార్లు, 24 గంటల కాలంలో 22 సార్లు ముళ్లు ఏకీభవిస్తాయి. ఈ స్థితిలో ముళ్ల మధ్య కోణం 0 డిగ్రీలుగా ఉంటుంది.
ఉదా-1: 3, 4 గంటల మధ్య ఏ సమయంలో గడియారంలోని రెండు ముళ్లు కలిసి ఉంటాయి?
ఎ. 3 గంటల 16 4/11 నిమిషాలు
బి. 5 గంటల 16 4/11 నిమిషాలు
సి. 3 గంటల 16 11/4 నిమిషాలు
డి. ఏకీభవించవు
-సమాధానం-ఎ

వివరణ
కోణం = 30h-(11/2)m
0 = 30(3)-(11/2)m
(11/2)m = 90
m =90(2/11) = 180/11 = 16 4/11నిమిషాలు

-3 గంటల 16 4/11 నిమిషాలు సమయప్పుడు రెండు ముళ్లు ఏకీభవిస్తాయి.

షార్ట్‌కట్
-3(30) = 90(2/11) = 180/11 = 16 4/11నిమిషాలు
(మొదట గంటలను 30తో గుణించి దానికి 2/11చే గుణించి మిశ్రమ భిన్నం చేయాలి)

ఉదా-2: 9, 10 గంటల మధ్య ఏ సమయంలో గడియారంలోని రెండు ముళ్లు కలిసి ఉంటాయి?
ఎ. 9 గంటల 48 2/11 నిమిషాలు
బి. 9 గంటల 49 2/11 నిమిషాలు
సి. 9 గంటల 49 1/11 నిమిషాలు
డి. 9 గంటల 48 1/11 నిమిషాలు
-సమాధానం-సి

వివరణ
-9(30) = 270(2/11)=540/11
= 49 1/11నిమిషాలు

మోడల్-3
గడియారంలోని గంటల ముల్లు, నిమిషాల ముల్లు మధ్యకోణం లంబకోణం అగుట
-ఒక గడియారంలోని గంటల ముల్లు, నిమిషాల ముల్లుల మధ్య కోణం 90 డిగ్రీలు ఉంటే ఈ రెండు ముళ్లు లంబంగా ఉన్నాయని అర్థం.

ఉదా-1: గడియారంలో 4, 5 గంటల మధ్య ఏ సమయంలో రెండు ముళ్ల మధ్య కోణం 90 డిగ్రీలుగా ఉంటుంది?
ఎ. 4 గంటల 38 2/11 నిమిషాలు
బి. 5 గంటల 38 2/11 నిమిషాలు
సి. 4 గంటల 30 2/11 నిమిషాలు
డి. 5 గంటల 30 2/11 నిమిషాలు
-సమాధానం-ఎ

వివరణ
-షార్ట్‌కట్
4(30)+90 = 120+90 = 210(2/11) = 420/11 = 38 2/11 నిమిషాలు
4(30)-90 = 120-90 = 30(2/11) = 60/11 = 5 5/11 నిమిషాలు
-అంటే 4 గంటల 38 2/11 నిమిషాలు, 4 గంటల 5 5/11 నిమిషాల సమయమప్పుడు రెండు ముళ్ల మధ్య కోణం 90 డిగ్రీలుగా ఉంటుంది.

గమనిక
-గడియారంలో ప్రతి గంటకు రెండుసార్లు రెండు ముళ్ల మధ్య కోణం లంబంగా ఉంటుంది. కానీ 12 గంటల కాలంలో 22 సార్లు, 24 గంటల కాలంలో 44 సార్లు రెండు ముళ్లు లంబకోణాలను ఏర్పరిచే విధంగా కలుస్తాయి.

మోడల్-4
ఉదా-1: 4, 5 గంటల మధ్య గడియారంలోని రెండు ముళ్లు ఎప్పుడు సరళకోణంలోకి వస్తాయి?
ఎ. 4 గంటల 54 2/11 నిమిషాలు
బి. 4 గంటల 54 6/11 నిమిషాలు
సి. 5 గంటల 54 2/11 నిమిషాలు
డి. 5 గంటల 54 6/11 నిమిషాలు
-సమాధానం-బి

గమనిక
-6 గంటలకు ముందు ఉంటే 180 కలుపాలి.
-6 గంటలకు తర్వాత ఉంటే 180 తీసివేయాలి.

వివరణ
4(30) = 120 + 180 = 300(2/11) = 600/11 = 54 6/11 నిమిషాలు
-అంటే 4 గంటల 54 6/11 నిమిషాల సమయమప్పుడు రెండు ముళ్లు వ్యతిరేక దిశలో ఉంటాయి.
ఉదా-2: 7, 8 గంటల మధ్య రెండు ముళ్లు ఎప్పుడు సరళకోణంలోకి వస్తాయి?
ఎ. 7 గంటల 5 2/11 నిమిషాలు
బి. 7 గంటల 5 5/11 నిమిషాలు
సి. 7 గంటల 5 6/11 నిమిషాలు
డి. 7 గంటల 5 3/11 నిమిషాలు
-సమాధానం-బి

వివరణ
-7(30) = 210 – 180 = 30(2/11) = 60/11 = 5 5/11 నిమిషాలు
-అంటే 7 గంటల 5 5/11 నిమిషాల సమయమప్పుడు రెండు ముళ్లు వ్యతిరేక దిశలో ఉంటాయి.